Frage von maxim008, 29

Kann mir jemand bei einem mathematischen Beweis helfen?

Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht mehr weiter:

Beweisen Sie: Für alle a, b > 0 gilt die Ungleichung 2/((1/a) + (1/b)) <= √(ab)

So bin ich bis jetzt verfahren:

2/((1/a) + (1/b)) <= √(ab)

2/((b/ab) + (a/ab)) <= √(ab) | Gemeinsamer Hauptnenner

2/((a+b)/ab) <= √(ab)

2ab / a+b <= √(ab) | Kehrwert

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Mein Lehrer hat mal die Lösung des Rechenweges ganz kurz gezeigt und ich weiß, dass da noch was mit einer 2. Wurzel war, die er dann mit dieser Wurzel zusammengefasst hat und nur "ab" auf der rechten Seite stehen hatte und auf der linken Seite 0.

Ich hoffe jemand kann mir (verständlich!) mit diesem Problem weiterhelfen :)

Antwort
von Polynomo, 4

Nachdem Geograph die Umformungen schon geliefert hat, hier vielleicht eine exakte Vorgehensweise beim Beweis von Ungleichungen.

Man geht aus von einer erkenntlich wahren Aussage und gelangt durch zulässige Operationen zu einer wahren Behauptung.

Das würde - das Vorhehen von Geograph umkehrend - hier so aussehen:

Es gilt:          (a – b)² ≥ 0               immer , weil Quadratzahl,

also           (a² - 2ab + b²  ≥ 0      beidseits   4ab ( > 0 )  dazu  ergibt

                  (a² + 2ab + b²  ≥ 4ab
also                (a + b)² ≥ 4ab 

Jetzt zum Kehrwert, da kehrt sich auch das Relationszeichen um:

                   1 / (a + b)² ≤ 1 / 4ab       jetzt multiplizieren mit   4a²b² ( > 0 ) ergibt

                     4a²b² / (a + b)² ≤ 4a²b² / 4ab            und gekürzt

                      4a²b² / (a + b)² ≤  ab                  

Jetzt noch radizieren, weil alle Terme positiv, dann bist Du fast schon bei der Ausgangs - Ungleichung , also einer wahren Behauptung !!!

Antwort
von Geograph, 4

2ab / (a+b) <= √(ab)
Quadrieren
4a²b² / (a+b)² ≤ ab
4ab ≤ a² + 2ab + b²
0 ≤ (a + b) • (a – b)

(a – b)² ≥ 0

Kommentar von Polynomo ,

Sieht gut aus, wenn Du noch den letzten Schritt erklären könntest !!

Ich würde sagen :

4ab ≤ a² + 2ab + b²
0 ≤ (a - b) • (a – b)

Kommentar von Geograph ,

4ab ≤ a² + 2ab + b² | -4ab

0 ≤ a² - 2ab + b² | 3. binomische Formel

0 ≤ (a + b) • (a – b) = (a - b)²

Kommentar von Geograph ,

Sorry, war natürlich Unsinn


4ab ≤ a² + 2ab + b² | -4ab

0 ≤ a² - 2ab + b² |  2. binomische Formel

0 ≤  (a - b)²

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