Frage von maxim008, 24

Kann mir jemand mit dem Newton-Verfahren weiterhelfen?

Hallo,

ich hätte ein paar Fragen rund ums Newton-Verfahren.

  1. Wieso besteht die Gefahr, dass, wenn ich den Startwert zu weit weg von der Nullstelle wähle, es entweder oszilliert oder divergiert? Also, woran liegt es ganz genau?

  2. Ist es immer der Fall, falls ich 0 als Startwert wähle, dass es niemals konvergieren wird, oder war das bei mir jetzt immer nur Zufall gewesen? Weil bei mir hat es mit 0 noch nie konvergiert...

  3. Kann man allgemein (ohne viel nachzurechnen) schon vorher erkennen, ob das Newton-Verfahren bei einem bestimmten Startwert konvergieren wird oder nicht? Also, dass eine Tangente jetzt nicht auf ein Extrempunkt stoßt oder der Graph am jeweiligen x-Wert überhaupt verläuft oder nicht, denn wenn nicht, kann man auch keine Tangente anlegen.

Antwort
von haku7, 10

1. Es liegt daran das du die Suchrichtung bestimmst auf Basis der Ableitung an der Stelle. Wenn du das nicht haben willst, dann musst du Verfahren einsetzen die keine Gradienteninformationen benötigen. Z.b. Intervallschachtelung oder evolutionäre Algorithmen (stochastische Suchverfahren).

Allgemein würde ich sage es ist ein Merkmal der Klasse der gradientenbasierten Suchverfahren zu denen das Newton-Verfahren zählt. Unerwünschte Effekte sind also Oszillation und divergenz.

2. Nein denn bei x=0 hat jede Funktion einen anderen Funktionswert, so können Aussagen zur Konvergenz im Allgemeinen nicht ohne Kenntniss der Umgebung getroffen werden.

Bei dir ist es eher Zufall. Bei vielen Anwendungen wird x = 0 tatsächlich als Startwert verwendet, falls man die Nullstelle in der Umgebung vermutet.

3. Garantien zur Konvergenz hast du mit dem Verfahren nicht. Es ist ein Suchverfahren das in der Nähe von Extrema quadratische Konvergenzrate aufweist. Du kannst aber auch in lokale Extrema laufen.

Falls dich das Theme näher interessiert empfehle ich Bücher über Optimierung, dort werden die verschiedenen Suchverfahren u.a. Newton-Verfahren als einfachster Vertreter genauer behandelt und deren Anwendung gezeigt.



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