Frage von Mango12345, 104

Kann mir jemand helfen x für die Gleichung x*3^x=13 auszurechnen?

Hey, ich brauche dringend Hilfe um x für die oben genannte Gleichung auszurechnen. Die Lösung habe ich durch probieren schon. Jedoch brauche ich den Lösungsweg. Ich bedanke mich schonmal für eure Antworten.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 25

Hallo,

das geht über die Lambertsche W-Funktion:

http://kilchb.de/faqmath3.php

Beispiel 2

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Mango12345 ,

Wow, danke, dass hat mir sehr geholfen.  Nur jetzt habe ich noch eine ganz dumme Frage dazu, was bedeutet dieses lam? Ich habe jetzt raus x=(lam(13*ln3))/ln3. Ich weiß nur nicht wofür das lam steht, also was ich dafür einsetzen muss bzw. Unter was ich es in meinem Taschenrechner finde. Haben Sie dafür eine Lösung? 

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo,

ich rechne Dir das mal vor:

x*3^x=13

Du mußt diese Gleichung auf die Form x*e^x=y bringen.

Dazu formst Du 3^x in e^ln(3^x)=e^(x*ln(3)) um:

x*e^(x*ln(3))=13

Nun substituierst Du x*ln(3) durch z

x ist dann z/ln(3)

Also:

(z/ln(3))*e^z=13

z*e^z=13*ln(3)

Dann ist z der Funktionswert der Lambert W-Funktion von 13*ln(3),

also von 14,28195975

Den dazugehörigen Wert findest Du, wenn Du bei Wolfram Alpha folgenden Befehl eingibst:

lambertw(14.28195975)

Wolfram spuckt dann 1.977276694 aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lambertw(14.28195975)

Das ist der Wert für z. Da x=z/ln(3) ist, mußt Du diesen Wert noch durch ln(3) teilen.

Ergebnis: 1,799794809, der gesuchte Wert.

1,799794809*3^1,799794809=13

Gruß, Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von Schachpapa, 40

Das kann man nicht nach x auflösen.

Lies unter https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion wie du das Ding knacken kannst. Am Ende bist du bei einer Potenzreihe.

Mit Näherungsverfahren kommst du genauso weit. Intervallhalbierungsmethode kann man einigermaßen einfach in Excel oder LibreOffice implementieren.

Oder hier:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x*3^x%3D13

(Die ganze Zeile in den Browser übernehmen)

Kommentar von Mango12345 ,

Vielen Dank für die Hilfe. Habe es gleich mal versucht einzusetzen. Nur leider weiß ich nicht wie Och das mit dem "W" berechne.  Sprich was ich dafür auf meinem Taschenrechner einsetzten muss um ein Ergebnis zu bekommen?

Kommentar von Schachpapa ,

Eben, das ist das Problem. Die Lambertsche W-Funktion gibt's nicht fest verdrahtet auf dem TR. Das müsstest du per Potenzreihe annähern. Zitat Wikipedia: "Die W-Funktion kann nicht als elementare Funktion ausgedrückt werden."

Ich denke, mit dem Newton-Verfahren kommst du am schnellsten zu einem beliebig genauen Ergebnis.

f(x)  = x * 3^x - 13
f'(x) = 3^x * (x * ln(3) + 1)

xneu := x - f(x) / f'(x)

Wenn du mit 1,8 anfängst, hast du gleich die ersten 7 Stellen

x                 f(x)           f'(x)          f(x) / f(x)
1,8         13,0044133005  21,5114823147  0,0002051602
1,7997948398  13,0000006643  21,5050063414  3,08922154512371E-008
1,799794808884460 13 21,5050053665 0


Höhere Genauigkeit ist jetzt bei LibreOffice nicht drin. Per Programm (z.B. Java mit BigDecimal) kannst du beliebig genau werden.





Antwort
von Multistein, 48

Was soll denn bitte die Lösung sein? So richtig nach x auflösen kannst du das nicht.

Kommentar von Mango12345 ,

Das Ergebnis ist ca. x=1,799... 

Und das mit dem auflösen ist genau mein Problem. :/

Antwort
von chango3, 56

x*3^x=13 ist

4,3 Periode x 3 ^1 = 12,9 Periode ist gerundet 13

also ist das erste x 4,3 Periode oder 4,4 und das zweite 1

Kommentar von Mango12345 ,

Danke für die schnelle Antwort, aber für x kann es ja nur ein Ergebnis geben, welches man für beide x einsetzen kann und dann 13 rauskommt. 

Antwort
von Vegas77, 36

Schätzer: Durch überlegen weißt du schonmal sicher, dass: 1,5<x<2

Ich würde es mal mit dem LN probieren :-)

x*3^x=13 | :x

3^x=13/x

xln(3)=ln(13)-ln(x)

...






Kommentar von Mango12345 ,

Danke für deine Hilfe. Die Überlegung hatte ich auch schon, jedoch bin ich nicht weiter bzw. bis zum Schluss gekommen.  Kannst du mir da weiterhelfen? 

Antwort
von Spock1701, 38

Ich versuchs mal:

3x^3 =13     /:3

x^3 = 13:3    /(x.Wuzel)

x = (x.Wurzel aus: 13:3)

x = (x.Wurzel aus: 4,33...)

Ich bin mir nur 98,3% sicher. Ich habe schon lange keine Gleichungen mehr gerechnet. Ach ja, falls du dich über die wuzel wunderst: Die ist das gegenteil einer Potenz.

Live long and prosper.

Kommentar von Mango12345 ,

Hey, danke für die Antwort. Ich glaube aber du hast die Gleichung nicht richtig gelesen denn bei dir ist sie 3*x^3=13. 

Meine Gleichung ist aber x*3^x=13

Kommentar von Spock1701 ,

Doch das stimmt ja! :D Ich hab nur die oberste Zeile falsch abgeschrieben, alles andere passt denke ich.

Pardon.

LG

Kommentar von Mango12345 ,

Aber wenn man deine Ergebnisse für x in meine Gleichung einsetzt kommt da nicht 13 raus. Habe es gerade mehrmals überprüft. 

Die Lösung für x liegt ca. bei  1,799... Nur der Lösungsweg dahin fehlt mir.

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