Frage von Nina869, 63

Kann mir jemand helfen folgende Mathematik-Aufgabe zu lösen (Thema: Input/Output-Produktionskoeffizientenmatrix)?

Einsatz der Rohstoffe R1 und R2 zur Produktion der Produkte P1, P2 und P3 ist in folgender Tabelle dargstellt:

P1;P2;P3

R1 1;0;2

R2 2;1;3

a) Geben Sie für Produktionsvektor q' =[100,200,50]' den Verbrauch der Rohstoffe R1 und R2 an. Das hab ich, glaugb ich, schon gelöst: R1= 800 R2= 1100

b) Wie viele Mengeneinheiten der Produkte können produziert werden, falls die Produktionskoeffizientenmatrix P durch

P= (0;0;2)

(0,5;0;1)

(0;0;0) gegeben ist und q' aus a) übernommen wird.

c) Zeigen Sie, dass sich q' auch aus P und x berechnen lässt.

Ich habe versucht dies aus mehreren Quellen zu lösen (mehrere Fachbücher;Youtube-Videos) doch leider komme ich hier nicht weiter. Darum bitte ich hier um Hilfe.

Antwort
von Mamuschkaa, 63

xIch (und wahrscheinlich die anderen 22 Personen) fühle mich nicht imstande deine Produktions Tabelle zu lesen.
a)
.......P1..P2..P3
R1....1...0...2
R2....2...1...3
P1 benötigt 1R1 und 2R2   ?
P2 benötigt 1R2                  ?
P3 benötigt 2R1 und 3 R2  ?
dann ist der Verbrauch aber
[100,200,50]
R1=100*1+50*2=200
R2=100*2+200+50*3=450
Da es ja nur um das Prinzip geht kann ich ja mit diesen Werten weiterrechen, du wirst schon verstehen was man macht.
b)

     ( 0     0    2 )      ( 100)
P=( 0,5  0    1  )  X ( 200)   (Matrix mal Vektor)
     ( 0     0    0 )      (   50)
100*0   +200*0+50*2=100 R1
100*0.5+200*0+50*1=100 R2
100*0   +200*0+50*0=0 R3
Ok nur mal so nebenbei wenn es kein R3 gibt dann sieht die Matrix eigendlich so aus:
( 0     0    2 )     
( 0,5  0    1 )
Die 3. Zeile schreibt man einfach nicht mit, eine Zeile mit nur 0-len ist Sinnlos.
c) WAS IST X, wenn das nciht erwähnt ist kann man die Aufgabe nicht lösen,
Ich gehe davon aus das x=(x1,x2) ist wobei x1 die Menge an benötigtem R1 und x2 die Menge an benötigten R2 ist.
also:
( 0     0    2 )      ( q'1)    (x1)
( 0,5  0    1  )  X ( q'2) =(x2)
                         ( q'3)   
x1 und x2 sind gegeben.
q'1*0   +q'2*0+q'3*2=x1
q'1*0.5+q'2*0+q'3*1=x2
also
2*q'3=x1
0.5*q'1+q'3=x2
also
q'3=0.5*x1
q'1=2*x2-2*q'3
also
q'1=2*x2-2*0.5*x1=2*x2-x1
q'1 und q'3 werden durch x1 und x2 dargestellt,
q'2 geht nicht weil nur 0ler in der Wagerechten sind.
Also irgendwie glaub ich das die Matrix anders aussehn muss!
Aber das Prinzip hab ich vorgerechnet, jetzt kannst du mit den "richtigen Zahlen" alles nachrechnen.

Kommentar von Nina869 ,

Also alle Angaben sind korrekt, sie stehen so in der Aufgabe, wie ich es angegeben habe, die Aufgabe ist vollständig:

fast eine identische Aufgabe ist unter diesem Link; Aufgabe 2.9 zu finden:

http://www.wiwi.uni-frankfurt.de/Professoren/ohse/Fernuni/0053/2A.pdf

"x" ist nicht angegeben ich glaube das x in einer Formel steht die ich umstellen muss, jedoch kann ich nur vermuten welche Formel es ist (Leontief,....): q=(E (Einheitsmatrix) - P)*x

Kommentar von Mamuschkaa ,

         ( 1     0   -2 )    
E-P=( -0,5  1   -1 )
         ( 0     0    1 )     
 ( 1     0   -2 )      ( x1)   (q1)
( -0,5  1   -1 )  X ( x2) =(q2)
 ( 0     0    1 )      ( x3)   (q3)
        x1      -2*x3=q1
-0.5*x1+x2 -1*x3=q2
                      x3=q3
Wenn man die x1,x2,x3 gegeben hat ist das ja kein Problem,
Ich kenne nicht die Formel von Leontief und weiß somit nicht in welchem Zusammenhang man sie braucht aber man bekommt auf jedenfall ein Ergebnis raus.

Kommentar von stekum ,

@ Nina: Dein Link bestätigt meine Vermutung.

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathematik, 34

Bin nur Laie auf diesem Gebiet, aber ich vermute:

Für ein Stück P₁ braucht man 1 Einheit R₁ und 2 Einheiten R₂ .

Ein P₂ braucht 1 R₂ und ein P₃ braucht 2 R₁ und 3 R₂.

q‘ sagt, dass 100 Stück P₁ und 200 Stück P₂

und 50 Stück P₃ produziert werden sollen.

Für 100 P₁ braucht man 100 R₁ und 200 R₂.

Für 200 P₁ braucht man 200 R₂

und für 50 P₃ braucht man 100 R₁ und 150 R₂.

Insgesamt also 200 R₁ und 550 R₂.

b) Mit P und q‘ kann man nur wieder den Verbrauch an R₁ und R₂ berechnen.

c) Wenn x der Verbrauch von R₁ und R₂ ist,

kann man aus P und x nicht q‘(q₁ , q₂ , q₃) bestimmen,

denn mit 2 Gleichungen kann man nicht 3 Unbekannte berechnen.

Kommentar von Mamuschkaa ,

bei der 550 hast du recht, da hab ich mich verrechnet.
Ich habe auch nicht verstanden was die Frage bei c) war, aber er hat ja eine Formel mitgeliefert, und mit der kommt man zu einem Ergebniss, da die Einheitsmatrix mit verrechet wird und damit eine 3. Gleichung dazukommt. Aber ich weiß nicht was genau diese Gleichung ausrechnet.

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