Frage von MarkusKoe, 72

Kann mir jemand helfen den direkten Beweis für folgende Aussage zu zeigen: Aus a+a^-1 = 10 folgt a^3+a^-3 = 970?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 47

Das ist nicht gerade schwer,
Aus der ersten Gleichung folgen die Lösungen:
x₁‚₂ = 5 ± 2√6

Beide ergeben, in die 2. Gleichung eingesetzt,  970.

Kommentar von MarkusKoe ,

Vielen Dank!

Kommentar von Volens ,

Falls es dich noch interessiert, wie ich auf die x gekommen bin:

x + 1/x        = 10      | *x
x² + 1          = 10x    | -10x
x² - 10x + 1 =  0                      jetzt p,q-Formel mit p = -10 und q = 1

x₁‚₂ = 5 ± √(25 - 1)   
x₁‚₂ = 5 ± √24
x₁‚₂ = 5 ± √(4 * 6)    | teilweise Wurzel ausziehen
x₁‚₂ = 5 ± 2√6

Und dann natürlich wieder a für x sagen.

Antwort
von Mikkey, 38

(a+1/a)³ = 1000

a³ + 3 a²/a + 3 a/a² + 1/a³ = 1000

a³ + 3 a + 3 1/a + 1/a³ = 1000

a³ + 3 (a + 1/a) + 1/a³ = 1000

Kommentar von Volens ,

Bei dir fehlt noch der letzte Schritt (nämlich die Beseitigung des Mittelglieds):
aus der Voraussetzung hast du
a + 1/a = 10,
also ist das Dreifache = 30,
und wenn du diese dann von 1000 subtrahierst, gibt es 970.

Auch ein guter Nachweis!

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