Frage von EtBap, 52

Kann mir jemand erklären, wie man von x^2-2/3x-1/3 auf (x-1)(x+1/3) kommt?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 15

Faktorisierung des Terms.

Dazu benötigt man die Nullstellen des Terms.

Wenn x1 und x2 die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind, ist

f(x) = a x^2 + b x + c = (x - x1) * (x - x2)

Wie du die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen kannst, solltest du wissen.

Wenn die Funktion nur eine einzige Nullstelle hat, ist

f(x) = (x - x1) * (x - x1)

Man spricht dann auch von einer "doppelten Nullstelle" - der zugehörige Faktor tritt in der Faktorisierung doppelt auf.

(Diese Faktorisierung gilt übrigens für alle Polynome. Hier können natürlich auch Nullstellen höherer Ordnung auftreten.)

Kommentar von EtBap ,

Klasse, vielen Dank.

Aber wie kommt man mit der Regel von x^4 - 2x^2 - 8

auf

(x-2)*(x+2)*(x^2+2)??

Die letzte Klammer irritiert mich total!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Schreibt sich das so?

x² - (2/3) x  - 1/3           p = -2/3         q = -1/3

x₁,₂ = 1/3 ±√(1/9 + 3/9)
x₁,₂ = 1/3 ± 2/3

x₁   =  1
x₂   = -1/3

Ihr müsst schon mal was von Linearfaktoren gehört haben, um zu wissen, dass quadratische Gleichungen in diese zwei zerfallen:
f(x) = (x - x₁) (x - x₂)

Daher ist    x² - (2/3) x  - 1/3 = (x - 1) * (x + (1/3))
Die Vorzeichen der Lösungen sind dabei umzudrehen!

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Wenn du es von rechts nach links rechnest, kommt es durch Ausmultiplizieren ganz von alleine heraus. Da wir keinen Scheitelpunkt ausrechnen wollen, brauchen wir auch keine quadratische Ergänzung. Multiplizieren reicht.

Antwort
von ChaosTheorie259, 23

(x-1)(x+1/3)

Du nimmst die linke mal die rechte Klammer, also x*x und x* 1/3, dann -1*x und -1* 1/3. Dann steht da.

x^2 (weil x*x = x^2) +1/3x (weil x*1/3) -1x (-1*x) -1/3

Dann zusammenrechnen (alle normalen Zahlen und zahlen mit X)

1/3x - 1x = -2/3

das ergibt dann x^2- 2/3x -1/3


Zugegeben bisschen umständlich geschrieben, aber hab Ferien :D aber ist schon richtig so :D





Kommentar von EtBap ,

Ich möchte in die andere Richtung, so wie es in der Frage steht. Also nicht die Klammern auflösen, sonder in sie umformen.

Kommentar von ChaosTheorie259 ,

achso, dann müsstest du (das aber jetzt bisschen blöd in Chat zu schreiben :D) eine quadratische Ergänzung machen(glaub das heißt so). Google das mal oder such auf YouTube

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