Frage von A1357, 73

Kann mir jemand erklären, wie man rechnerisch auf die Schnittpunkte dieser Graphen kommt?

Hallo erstmal, Ich habe das Problem, dass Ich nicht auf die Schnittpunkte 2er Graphen mit den Funktionen f (x)= x3 - 3x2 - x + 3 g (x)= -x3 + 3x2 - 2x (Die Zahlen direkt nach den x-en sollen die Exponenten darstellen) komme.

Ich bin in der 10. Klasse, deswegen bitte keine Anwendungen, die mir fremd sein könnten.

Momentan bin Ich bei dem Punkt, dass da x3 - 6x2 + x - 3 = 0 steht. Da kann ich aber nicht das "x" rauskürzen und somit die Mitternachtsformel ( oder qp-Formel wie Ich oft lese) anwenden, da da sonst "-x/3" steht.

Danke für jegliche Hilfe!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von tommy40629, 34

Ich weiß das auch nur vom Oberprima und aus meinem Abi.

Folgendes machen:

1.) Gleichsetzen--->  f(x)=g(x)

Dies liefert dann: 2x³-6x²-x+3

2.) Man setzt jetzt für x Teiler von 3 ein. Ich habe dann probiert mit:

x=1, das klappt nicht, aber bei x=3 kommt "0" heraus. 3 ist also eine Nullstelle.

3.)

Polynomdivision:

(2x³-6x²-x+3):(x-3) man teilt durch den Linearfaktor der Nullstelle.

Man kommt dann auf 2x²-1=0 <=> 2x²=1

Insgesamt erhält man dann als Nullstellen:

x_1=3, x_2=sqrt(0,5), x_3=-sqrt(0,5)

Und der Computer sagt das auch :))



Kommentar von A1357 ,

Erstmal danke für die Ausführliche Antwort, musste erstmal kurz nachdenken bevor Ich gemerkt habe, dass du die Formel anders umgestellt hast^^ Nun gut, dieser Weg scheint durchaus zu funktionieren, allerdings haben wir noch nicht diese Art besprochen. Trotzdem Danke :)

Kommentar von A1357 ,

Was bedeutet sqrt?

Kommentar von tommy40629 ,

Wurzel.

Anders kann man das eigentlich nicht lösen.

Man kann ja nicht ausklammern. Substituieren geht auch nicht, dann geht nur noch die Linearfaktorzerlegung.

Es gibt noch Newtonverfahren u.ä., das hatten wir aber im Abi nicht. Und an der Uni hat man es uns nie richtig erklärt.

Kommentar von A1357 ,

Vielen Dank! Dann werde Ich nun dein Verfahren anwenden. :) !

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 11

Du hast Dich beim Umformen der Gleichung f(x)=g(x) vertan:

x³-3x²-x+3=-x³+3x²-2x      |+x³ |-3x² |+2x
2x³-6x²+x+3=0

Hierfür gibt es keine Formel, wie z. B. die abc- oder pq-Formel, in die man einfach die gegebenen Werte einsetzt. Auf die erste Nullstelle kommt man in der Regel durch ausprobieren (kleiner) ganzer Zahlen, sinnvollerweise beginnend mit der 1. Und das führt in diesem Fall auch direkt zum Erfolg.

Nun musst Du per Polynomdivision den "x³-Term" durch "x minus erratener Nullstelle" teilen, um dann mit der pq-Formel die restlichen Nullstellen ermitteln zu können, also:

(2x³-6x²+x+3):(x-1) = 2x²-4x-3

[ das bedeutet: 2x³-6x²+x+3=(2x²-4x-3) * (x-1) ]

jetzt 2x²-4x-3=0 setzen, um die weiteren Nullstellen zu ermitteln:

=> x²-2x-1,5=0
=> x1,2=1+-Wurzel(1+1,5)=1+-1,58
=> x1=2,58; x2=-0,58

Somit wären die Schnittstellen bei x0=1; x1=2,58 und x2=-0,58

(Käme man mit Erraten nicht weiter, so müsste man Näherungsverfahren anwenden, aber das wird meines Wissens nach nicht in der Schule unterrichtet)

Kommentar von A1357 ,

Danke für die ausführlich Beschreibung, tommy40629 hat das auf andere Weise auch erklärt, allerdings stimmt laut einer webseite deine x1= 2,58 nicht ganz, eig. müsste 0.58 rauskommen.

Vielen Dank und auch für den Hinweis, dass Ich es falsch umgestellt habe! :)

Kommentar von Rhenane ,

Wenn Du in Deiner Frage f(x) und g(x) richtig notiert hast, stimmen
meine Werte.

Gib einfach die x-Werte mal ein und vergleiche, ob für f(x) und g(x) das Gleiche rauskommt. :)

Antwort
von Sarah18072000, 42

Vielleicht haben die beiden Graphen keinen Schnittpunkt.

Mein Tipp: Lass dir die Funktionen  per Geogebra oder Internet zeichnen. Dann siehst du auch direkt, wo ein Schnittpunkt sein sollte, falls überhaupt einer existiert.

z.B. https://rechneronline.de/funktionsgraphen/

Kommentar von tommy40629 ,

Schlechter Tipp für die Klausur.

Man muss hier echt nicht denken, man muss nur das Schema im Kopf haben.

Und üben muss man das, dann ist das nicht mehr schwer.

Antwort
von alxxxa, 39

Du stellst die beiden gleich also f1=f2 und löst nach x auf. Dann hast du die Schnittpunkte

Kommentar von Sarah18072000 ,

Das hat sie vermutlich schon versucht und erst dabei kam sie nicht weiter.

Kommentar von A1357 ,

"Er" und ja, habe Ich bereits probiert.

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