Frage von weirdlia, 13

Kann mir jemand erklären, wie man diese Aufgabe rechnet?

Antwort
von Halswirbelstrom, 12

Gegeben:      P0 (-3 / 4),  P1 (-4 / -3),   P2 (6 / 4,5)  

Gesucht:       P0´(x /y)

Geradengleichung (allgemein):   y = f(x) = m ∙ x + n

Anstieg:                     m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (4,5 - (-3) / ( 6 - (-4) ) = 7,5 / 10 = 3 / 4

absolutes Glied:      4,5 = 6 ∙ 3 / 4 + n   →   n = 0

Geradengleichung:                                    y = f(x) =  3 ∙ x / 4

Funktionsgleichung:          Gerade  y = g(x)  senkrecht zu  y = f(x):

Anstieg:                                m´ = - 1 / m = - 4 / 3

                                               y = g(x) = - 4 ∙ x / 3 + n´

                                               - 3 =  3 ∙ (- 4) / 4 + n´   →   n´= 0

Abstand  a des Punktes  P von der Geraden  f(x):

a² = 4² + (-3)² = 25  →   a = 5 LE

Zentralsymmetrie der Punkte P  und  P´:    →   P´(3/ -4)

LG

    

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 11

Die Gerade geht durch die Punkte P _ 1 (-4|-3) und P _ 2 (6|4.5)

Geradengleichung --> y = m * x + b

m = (4.5 - (-3)) / (6 - (-4))

m = (4.5 + 3) / (6 + 4) = 7.5 / 10 = 0.75

b = y - m * x

b = 4.5 - 0.75 * 6 = 0

y = 0.75 * x

Der Punkt P(-3|4) ist Bestandteil einer Geraden die orthogonal (senkrecht) auf der Geraden y = 0.75 * x steht.

y = m _ 2 * x + b _ 2

Orthogonalitätsbedingung: Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn das Produkt ihrer Steigungen −1 ergibt.

Damit können wir die Steigung der orthogonalen Geraden ausrechnen -->

m _ 2 * 0.75 = -1

m _ 2 = -1 / 0.75 = -(1 + 1 / 3)

b _ 2 = y - m _ 2 * x

Jetzt nehmen wir den Punkt P(-3|4) zu Hilfe -->

b _ 2 = 4 - (-(1 + 1 / 3)) * - 3 = 0

y = -(1 + 1 / 3) * x

Kommentar von DepravedGirl ,

Wir berechnen jetzt, in welchem Punkt sich die beiden Geraden schneiden -->

0.75 * x = -(1 + 1 / 3) * x

x = 0

y = 0.75 * x mit x = 0 --> y = 0

Nun berechnen wir den Abstand von Punkt P(-3|4)  zum Punkt P(0|0)

Abstandsformel -->

d = √( (x _ 2 - x _ 1) ^ 2 + (y _ 2 - y _ 1) ^ 2)

d = √( (0 - (-3)) ^ 2 + (0 - 4) ^ 2)

d = √( 9 + 16) = √(25) = 5

Jetzt verwenden wir die Abstandsformel nochmal -->

5 = √( x  - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2)

y = -(1 + 1 / 3) * x

5 = √( x  - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) | ... ^ 2

25 = x ^ 2 + y ^ 2

25 = x ^ 2 + (-(1 + 1 / 3) * x) ^ 2

25 = x ^ 2 + (16 / 9) * x ^ 2

25 = 25 / 9 * x ^ 2 | : (25 / 9)

9 = x ^ 2 | √(...)

x = 3

In y = -(1 + 1 / 3) * x einsetzen -->

y = -(1 + 1 / 3) * 3 = -4

Spiegelpunkt S (3|-4), und das ist ja auch ganz logisch, weil am Punkt (0|0) gespiegelt wird.

Falls es da noch eine einfachere Rechnung gibt, so kenne ich sie nicht, sorry.

Antwort
von Mamuschkaa, 13

Da gibt es viele viele viele Möglichkeiten,
Ich denke mal Vektoren und Matrizen hattet ihr noch nicht,
Mit Linearen Funktionen geht das so:
Du stellst die Gerade g1 auf, welche Durch Punkt a und b geht,
g1=m*x+b  <-- Ich glaube du weist wie das geht, ich reche jetzt so weiter!
und dann stellst du die gerade g2 auf, welche durch Punkt P geht und die Steigung: -1/m ist, also
g2=(-1/m)*x+c  <-- wieder gehe ich davon aus das du c ausrechnen kannst.
Nun rechnenst du den Schnittpunkt von g1 und g2 aus
g1=g2
m*x+b=(-1/m)*x+c
x=Bla <--Ausrechen
g1(Bla)=Blub   <--Ausrechnen (oder g2(Bla)=Blub kommt das selbe raus)
Schnittpunkt S=(Bla,Blub)

P=(-3,4)
Dein gesuchter Punkt P' ist nun:
P'=( Bla+(  Bla-(-3) ), Blub+(  Blub- 4)  )=(2*Bla+3,2Blub-4)
Denn die Strecke von P bis S (S-P), musst du von S aus nochmal gehen um nach P' zu kommen also S+(S-P).
Es gibt warscheinlich auch noch andere Wege oder Formeln,aber ich wollte das ohne Formeln lösen, da ich gerne verstehe was ich mache.
Solltest du irgendetwas dennoch nicht nachvollziehen können oder etwas nicht ausrechnen können dann frag noch mal nach, aber Frag bitte genau nach dem was du nicht verstehst, es ist immer mühselig alles zu erklären nur weil eine kleinigkeit nicht verstanden wird.

Expertenantwort
von stekum, Community-Experte für Mathe, 5

Die Gerade durch A und B hat die Gleichung

(y - 4,5) / (x - 6) = (- 3 - 4,5) / (- 4 - 6) = (- 7,5) / (- 10) = ¾ →

y - 4,5 = ¾(x - 6) = ¾x - 4,5 → y = ¾x .

Eine Normale /Senkrechte dazu hat die Steigung - 1⅓

und die Gleichung der Normale durch P ist

(y - 4) / (x + 3) = - 1⅓ → y - 4 = - 1⅓(x + 3) = - 1⅓x - 4 → y = - 1⅓x .

Beide Geraden gehen durch den Ursprung O,

daher erhält man P‘ durch Spiegelung von P an O, also P‘(3 | - 4).

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten