Frage von ganzsicher2, 111

Kann mir jemand erklären, warum es hier in den zwei Berechnungsspalten der Erdkrümmung zu Unstimmigkeiten komt berade bei kleinen Längenheiten?

Siehe Bild hier: http://flatearthwiki.com/images/0/0e/Metriccurvature.jpg

Die Formel sollte doch stimmen um die Erdkrümmung zu berechnenn, oder?

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 45

Das hat nichts mit AutoCad oder EXCEL zu tun! Im engl. sprachigen Raum sind 15 Digits = 15 Nachkommastellen.

(denn 90% rechnen alle mit Daten-Typ Double)

Hättest Du uns gleich den richtigen LINK gegeben

http://flatearthwiki.com/index.php?title=Earth%27s\_Curvature

würde man die obere Näherungsformel finden

8 * Meilen² / 12 wobei Ergebnis in FEET

was auch mit dem oberen Bild (1 Mile ergibt DROP=0.67 Feet )

Diese billige Näherungsformel war gut, solange es keine Rechner gab und nur bis 1000 Milen gültig

Das Bild (Dein LINK) darunter wurde in km umgerechnet -> weitere Rundungsfehler

Wenn man sich das Original zur Näherungsformel ansieht

http://www.sacred-texts.com/earth/za/za05.htm

sind die Strecken dort in inch und stehen senkrecht zur Kugeloberfläche, also wieder leicht anders.

Zusammenfassung: Billige Näherungsformeln mit uralten Einheiten ergeben natürlich erhebliche Abweichung zur Wirklichkeit.

Kommentar von Franz1957 ,

Zusammenfassung: Billige Näherungsformeln mit uralten Einheiten ergeben natürlich erhebliche Abweichung zur Wirklichkeit.

Da ich nun mit der Näherungsformel gerechnet habe, muß ich hier widersprechen. Sie ist sogar ziemlich gut, jedenfalls bei kurzen Distanzen. Bei 1 km Distanz weichen die trigonometrische Formel und die Näherungsformel nur um ein paar Nanometer voneinander ab. Bei größeren Argumenten wird die Näherungsformel schlechter, wie es für eine Taylor-Approximation mit quadratischem Glied ja auch zu erwarten ist.

(Die Meilen und Füße machen den Umgang für uns zwar etwas umständlicher, aber sie verursachen keine falschen Resultate. Das oft genannte Mißgeschick der NASA beruhte ja nicht auf den alten Einheiten als solchen, sondern darauf, daß hierüber nicht sorgfältig genug kommuniziert wurde.)

Das ist, was ich herausbekomme (mit Perl V. 5.20)

   km    Näherungsformel     trigon. Formel
1 0.000078455959 0.000078455986
10 0.007845595862 0.007845603449
100 0.784559586158 0.784608160205
1000 78.455958615825 78.944947809878
6373 3186.498880000393 6373.000000000000

Die auffallend falschen Tabellenwerte bei flatearthwiki stehen aber gerade bei den kurzen Distanzen. Für sie kann die Näherungsformel also nicht als Erklärung herhalten. Ich denke, dafür ist die auf dort genannte "geometrische Konstruktion", was immer auch das sein mag, verantwortlich.

Kommentar von hypergerd ,

In Meilen stimmt die Formel ja auch "unten herum" recht gut, und wenn man richtig umrechnet - wie bei Dir - , stimmt bei kleinen Argumenten etwa 10 Stellen.

Was ich vermutete war, dass ein weiterer Faktor fälschlicherweise hinzugenommen wurde, damit die Werte am Ende glatt die 6373.0 erreichen: also fast Faktor 2. (siehe mein Bild; daher der krumme Faktor 1636.5....)

Durch diesen falschen Faktor werden natürlich die kleinen Ergebnisse auch zu groß.

Was jedoch sehr eigenartig ist: f(2km) 

Dieser Wert ist viel zu schnell "besser geworden" - warum??

Nehmen wir an, der Autor hat wieder richtig nach Deiner Formel gerechnet.

Wie kommt denn aber f(>= 1000km) "viel genauer als Deiner" zu stande?

Entweder hat sich da jemand dauend verrechnet

(mindestens 1 mal, denn die richtigen DROP-Meilen im oberen Bild, stimmen nicht mit den ersten beiden Werten des unteren Bildes in km überein -> anderer Umrechnungsfaktor!)

oder es wurde mit stufenlosen Wichtungswechsel 2er Funktionen gearbeitet (kann ich gern hier vorstellen: z.B. [f1(x)*k+f2(x)*(1-k)]/2 mit k=1...0)

oder jemand hat manuell per AutoCad Entfernungsmessungen durchgeführt (per Pixelkoordinaten)...

Kommentar von Franz1957 ,

oder jemand hat manuell per AutoCad Entfernungsmessungen durchgeführt (per Pixelkoordinaten)...

...wobei er zu diesem Zweck wohl zwischendurch den Abbildungsmaßstab veränderte, um genügend Pixel zum Ablesen zu haben ‒ und genug Gelegenheit hatte, sich dauernd zu verrechnen. Scheint mir eine plausible Erklärung zu sein.

Was ich vermutete war, dass ein weiterer Faktor fälschlicherweise hinzugenommen wurde, damit die Werte am Ende glatt die 6373.0 erreichen: also fast Faktor 2. (siehe mein Bild; daher der krumme Faktor 1636.5....)

Ach so, da kommt dieser Faktor her. Ich rätselte darüber. :-)

Kommentar von Franz1957 ,

Zusammenfassung: Billige Näherungsformeln mit uralten Einheiten ergeben natürlich erhebliche Abweichung zur Wirklichkeit.

Da ich nun mit der Näherungsformel gerechnet habe, muß ich hier widersprechen. Sie ist sogar ziemlich gut, jedenfalls bei kurzen Distanzen. Bei 1 km Distanz weichen die trigonometrische Formel und die Näherungsformel nur um ein paar Nanometer voneinander ab. Bei größeren Argumenten wird die Näherungsformel schlechter, wie es für eine Taylor-Approximation mit quadratischem Glied ja auch zu erwarten ist.

(Die Meilen und Füße machen den Umgang für uns zwar etwas umständlicher, aber sie verursachen keine falschen Resultate. Das oft genannte Mißgeschick der NASA beruhte ja nicht auf den alten Einheiten als solchen, sondern darauf, daß hierüber nicht sorgfältig genug kommuniziert wurde.)

Das ist, was ich herausbekomme (mit Perl V. 5.20)

   km    Näherungsformel trigonometr Formel
1 0.000078455959 0.000078455986
10 0.007845595862 0.007845603449
100 0.784559586158 0.784608160205
1000 78.455958615825 78.944947809878
6373 3186.498880000393 6373.000000000000

Die auffallend falschen Tabellenwerte auf der Internetseite stehen aber gerade bei den kurzen Distanzen. Für sie kann die Näherungsformel also nicht als Erklärung herhalten. Ich denke, dafür ist die auf dort genannte "geometrische Konstruktion", was immer auch das sein mag, verantwortlich.

Dieses  "Ohje, ein Fehler! Bitte sende Deinen Kommentar erneut ab." geht mir auf die Nerven. Es

Antwort
von GrobGeschaetzt, 72

Die rechte Spalte ist nach der Excel-Formel berechnet, die stimmt auch. Man hätte auch den guten alten Pythagoras nehmen können.

Aber wie wurde die linke Spalte berechnet?

Kommentar von roswellnm ,

bist du sicher, dass die rechte Spalte bzw. die Formel dafür stimmt? links wurde anscheinend in Autocad gezeichnet und anschl. gemessen

Kommentar von Franz1957 ,

Aber wie wurde die linke Spalte berechnet?

Wie die Antwort von hypergerd erläutert, war das exakt die richtige Frage.

Antwort
von Barney123, 37

Hallo ganzsicher,

Wie im diagramm angegeben, rechnet Autocad für seine Geometrischen Berechnungen mit 15 digits, das sind 15 stellen im Dualformat, Excel rechnet dagegen m it 15 Nachkommastellen. Fehler machern beide Berechnungsarten, aber da Excel mit 15 analogen Nachkommastellen rechnet ist Excel dabei genauer!

Kommentar von roswellnm ,

aber meinst du die Formel sei überhaupt korrekt?

Kommentar von Barney123 ,

Die Formel ist sicher richtig. Habe ich überprüft. Aber es wird allgemein angenommen, Computer und Taschenrechner würden Supergenau rechnen. Das ist aber nicht der Fall. Die arbeiten mit besserer Genauigkeit als ein Rechenschieber, aber für genaue Berechnungen werden immer spezielle Algorithmen benutzt. Dafür gibt es spezialprogramme. Selbst Mathematica benutzt maximal die Genauigkeit des Coprozessors.

Ein Prof von mir meinte mal, als er die Klausur besprach: "Da gibt es Leute, die schreiben alle Ziffern ab, die der Taschenrechner ausgibt! Da müsste man eigentlich ne sechs drunterschrieben, denn die haben es nicht verstanden!"

Kommentar von Franz1957 ,

Analoge Nachkommastellen - ? Was Du meinst, sind wohl dezimale Nachkommastellen.

Kommentar von Barney123 ,

Ja, meinte ich, aber ich war im Gegenteil von digital = analog verhakt!

Kommentar von hypergerd ,

Genauigkeit von Rechnern Tabelle unten:

http://www.gerdlamprecht.de/GrobeFPU_Fehler.htm

AutoCad und EXCEL (egal ob Coprozessor) rechnen mit double also mindestens 14 Stellen genau.

(engl. Digits = Stellen und nicht digitale Bits!)

Hier im Bild bei 1 km ist bereits die 4. Stelle anders!

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