Frage von josiep, 91

Kann mir jemand eine mathe Frage ERKLÄREN?

Hallo könnte mir jemand diese frage erklären? Ich will sie dann selber machen aber ich versteh sie nicht :

Für welche Werte von t hat die folgende Gleichung genau eine Lösung?
(T-2)•x^2-t•x=1

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 26

Hallo,

ziehe die 1 auf die linke Seite.

So bekommst Du die Gleichung (t-2)x²-tx-1=0

Wenn Du diese Gleichung durch (t-2) teilst, sieht sie so aus:

x²-(t/(t-2))x-1/(t-2)=0

Diese Gleichung ist nun bereit für die pq-Formel.

p=-t/(t-2); q=-1/(t-2)

Solche quadratischen Gleichungen haben genau dann eine Lösung, wenn der Ausdruck unter der Wurzel in der pq-Formel gleich Null wird.

Unter der Wurzel steht bekanntlich (p²/4)-q

p² ist immer positiv, Du kannst das Minus vor -t/(t-2) also ignorieren.

p²/4=t²/[4*(t-2)²

-q=1/(t-2)

Unter der Wurzel steht also t²/[4*(t-2)²]+1/(t-2)

Du mußt die Summanden gleichnamig machen. Hauptnenner ist 4*(t-2)².

Bei t² ändert sich also nichts, während Du die 1 mit 4*(t-2) multiplizieren mußt.

Wenn alles auf einem Bruchstrich ist, brauchst Du den Hauptnenner nicht mehr, weil Du die Gleichung auf Null setzt. Es interessieren nur noch die Zähler:

t²+4*(t-2)=0

t²+4t-8=0

Diese Gleichung kannst Du nun wieder mit der pq-Formel nach t auflösen.

Die beiden Lösungen sind die Werte für t, bei denen es in der ursprüngichen Gleichung nur eine Lösung gibt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von PWolff ,

Wir haben die Lösung von TomPiketty vergessen.

Kommentar von Willy1729 ,

Wenigstens mal einer, der nicht 42 schreibt; aber 2 stimmt, dann fällt das quadratische Glied weg. Wichtiger Hinweis.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Mit der pq-Formel kannst Du gar nicht auf die 2 kommen, weil Du genau die nicht für t einsetzen darfst, wenn Du durch (t-2) teilst. Deshalb hatte ich die 2 gar nicht auf dem Schirm.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 11

Da geht es um die so genannte Diskriminante (Entscheidende).
Ohne die Nullstellen überhaupt auszurechnen, kann man eine Voraussage auf die Anzahl der Nullstellen treffen. Maßgeblich ist die Wurzel, die nachher in den Lösungen auftaucht. Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante D.

Ist D ≥ 0 , dann gibt es 2 reelle Lösungen.
Für D = 0 gibt es genau 1 reelle Lösung.
Bei D < 0 existiert gar keine reelle Lösung.

Deine Gleichung heißt: (t-2) x² - tx - 1 = 0      | Division durch die Vorzahl von x²
                                x² - t/(t-2) - 1/(t-2) = 0        p =  - t/(t-2)      q =  - 1/(t-2)

Vielleicht erinnerst du dich, was in der p,q-Formel unter der Wurzel steht:

(p/2)² - q .      Das bedeutet: (p/2)² - q = 0     für 1 Lösung.

Das kannst du jetzt gern selber rechnen und nachher vergleichen!

Ich setze mal ein:

(- t/(2(t-2))² + 1/(t-2) = 0                    | 2. Bruch erweitern
t² / 4(t-2)²    + (4 (t-2))/(4(t-2))² = 0    | multipliz. mit Nenner        t ≠ 2
t² + 4(t-2)                = 0                      | das wird zur quadr. Gleichung
t² + 4t - 8                = 0                      | wieder p,q-Formel         p=4     q=-8
t₁‚₂            = -2 ±√(4+8)                      | Wurzel teilweise ausziehen
        t₁      = -2 + 2√3
        t₂      = -2 - 2√3

Bei diesen beiden t bekommt man jeweils nur 1 Lösung.
t ≠ 2    ist erfüllt.

Das war eine Parameterübung.
Ohne die ganze Gleichung zu lösen, kann man im Vorwege schon bestimmte Eigenschaften erkennen, wenn die entsprechenden Parameter (Hilfsgrößen) gesetzt werden. Gebraucht wird es z.B. bei Kurvenscharen, der Notwehr der Mathematiklehrer gegen Taschenrechner. Obwohl bestimmte Rechner schon komplette Kurvendiskussionen durchführen können, sind sie aber kaum in der Lage, eine Kurvenschar durchzurechnen. Da braucht man endlich wieder
das Hi r r r n (mit gerolltem r  :-)  )

Kommentar von Volens ,

Kleine Korrektur, obwohl es bei dieser Aufgabe keine Rolle spielt, im Allgemeinen aber schon:

Ist D > 0 , dann gibt es 2 reelle Lösungen.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

Wenn du für t einen Wert einsetzt, bekommst du eine (im allgemeinen quadratische) Gleichung für x.

(Dass es genau eine Lösung für x sein soll, fehlt anscheinend in der Aufgabenstellung. Es sei denn, vor den Aufgaben wurde erwähnt, dass die gesuchte Unbekannte immer x ist.)

Eine quadratische Gleichung kann bis zu 2 Lösungen haben. Genauer: sie kann entweder genau 0 oder genau 1 oder genau 2 Lösungen haben.

Gesucht ist jetzt nach den Werten, die man für t einsetzen muss, damit die entstehende Gleichung genau 1 Lösung hat, also weder keine noch 2 Lösungen.

Antwort
von TomPiketty, 35

Ist es Absicht, dass in der ersten Klammer ein großes T steht?

Kommentar von josiep ,

Ne sollte auch ein kleines sein

Kommentar von josiep ,

:/

Kommentar von TomPiketty ,

Hm ... ist ne Denkaufgabe :D Da gibts nicht viel zu erklären :P. Versuch einfach mal im Kopf bestimmte Werte für t einzusetzten und schau was passiert ^^ .


Kommentar von TomPiketty ,

Wo bekommt man solche Aufgaben gestellt?

Kommentar von Volens ,

Wo bekommt man solche Aufgaben gestellt?

In der Oberstufe, wenn Kurvenscharen kommen, auch schon bei Geradenbüscheln.

Kommentar von TomPiketty ,

Die Lösung ist übrigens 2 ^^

Kommentar von Willy1729 ,

Zumindest eine von drei Lösungen, die beiden anderen gibt's oben.

Willy

Kommentar von Volens ,

Die Lösung ist übrigens 2

Das wäre schlecht, denn gerade da ist t nicht definiert.

Kommentar von josiep ,

Danke! Ich mach sie mal und ich hoffe ich krieg dieselbe Antwort! Ich krieg die Aufgabe von mein Vater also ich weiß nicht wo er die her hat.

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