Frage von Mukleur, 102

Kann mir jemand diese mathematische Abkürzung erklären?

Ich verstehe überhaupt nicht, was das, was dort steht, rechnerisch heißt. Ich hab die Aufgabe berechnet und verstehe auch halbwegs, was dort geschieht, jedoch verstehe ich dieses Produktzeichen nicht. Das rechte Teil ist mir klar, jedoch das in den großen Klammern Links nicht.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 11

Hallo,

spielen wir es mal für die 3. Ableitung, also f'''(x) durch.

Der rechte Teil ist klar: (1+x)^(-5/2). 

Der linke Teil gibt an, welcher Faktor vor diesen Term gehört.

Für n=3 multiplizierst Du (0,5-j) für j=0 bis j=2 durch:

(1/2)*(-1/2)*(-3/2) also [(1/2)-0]*[(1/2)-1]*[(1/2)-2]=3/8.

Tatsächlich ist die dritte Ableitung von (1+x)^(1/2)=(3/8)*(1+x)^(-5/2), was Du leicht nachprüfen kannst, indem Du die Ableitungen auf die herkömmliche Art bildest. Du mußt nur darauf achten, daß Du jeweils bis zu der Zahl für j gehst, die um 1 niedriger als die Zahl ist, die Du für n einsetzt.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Mukleur ,

jetzt habe ich es kapiert, ich danke dir vielmals Willy

Antwort
von ausdertonne, 10

Ich weiß nicht, ob es Taschenrechner gibt, die das Taylor-Polynom zum Wurzelziehen ausnutzen. Normalerweise wird die Wurzel über das Heron-Verfahren bestimmt, ein iteratives Verfahren, das sehr schnell konvergiert.

Aber egal, es geht um eine Darstellung der n-ten Ableitung von f(x)=sqrt(1+x)


Wir finden:

f'(x)= 1/2 * (1+x)^(-1/2)

f''(x) = -(1/4) * (1+x)^(-3/2)

f'''(x) = -(1/4)*(-3/2)* (1+x)^(-5/2)

usw

Das Schema ist klar: Die Exponenten kommen jeweils vorne als Faktor davor mit jeder weiteren Ableitung und der Exponent verringert sich um eins.


Das drückt genau das Produktzeichen aus.

Für n=1 ist der Faktor 1/2, denn das Produkt läuft von j=0 bis n-1=0, also kommt nur der Faktor für j=0 vor, dieser ist 1/2

Für n=2 läuft das Produkt über j=0 und j=1, das ergibt 1/2* -1/2 = -1/4

Für j=2 kommt der Faktor 1/2-3=-3/2 dazu usw.

Genauso die Exponenten. Man kann sie schreiben als -u/2, wobei u alle ungeraden Zahlen durchläuft, das heißt u=2n-1

So kommt man zu dieser Darstellung.

Du kannst sie per vollständiger Induktion beweisen, indem du 1.)

den Ausdruck für n=1 einsetzt und überprüfst --> haben wir oben gemacht


Und 2.) Den Produktausdruck ableitest und zeigst, dass dabei die Form für n+1 wieder herauskommt..






Antwort
von vitus64, 21

Das Produktzeichen musst du analog zu Sigma bei Reihen sehen, nur das hier die einzelnen Elemente nicht addiert sondern multipliziert werden.

Kommentar von Mukleur ,

Laut dieser Definition hätte ich bei der ersten Ableitung 1/2-1 und das sind -1/2

Da j =1 wäre 

Die erste Ableitung ist aber mal + 1/2 x f(x)

Kommentar von ELLo1997 ,

Achtung: n ist 1 bei der ersten Ableitung. j geht somit von Null bis Null. Das heißt schlicht, dass nur ein Faktot dasteht, nämlich der mit j = 0.

Antwort
von Copyyy, 16

Hier ist es beschrieben:
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Summe_und_Produkt#Die...

Kommentar von Mukleur ,

Laut dieser Definition hätte ich bei der ersten Ableitung 1/2-1 und das sind -1/2
Da j =1 wäre
Die erste Ableitung ist aber mal + 1/2 x f(x)

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