Frage von MrEinfachso, 86

Kann mir jemand die Matheaufgabe erklären (Logarithmus?

Kann mir jemand die Vereinfachung erklären, wie man darauf kommt? Am besten in ein paar Zwischenschritten.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 17

Das erste, was du zu jeder Tages- und Nachtzeit aufsagen können musst, ist die Definition des Lograithmus. Es ist nichts anderes als der Exponent (Hochzahl) als Ergebnis einer Rechnung.

log_a (b) = x
heißt gelesen: x ist der Logarithmus von b zur Basis a
Und anders geschrieben: a^x = b

Da der Logarithmus der Zahl e, um Zeit zu sparen, ln heißt, ist damit gleichbedeutend:       ln b = x          als Potenz:     e^x = b
Damit ist auch klar:    ln 1 = 0         weil                 e^0 = 1

Da du dich auch erinnern müsstest, dass man Exponenten mit gleicher Basis subtrahiert, um die ganze Potenzen zu dividieren, und mal davon gehört hast. dass √a = a^(1/2) geschrieben werden kann, fangen wir mal mit der Umwandlung der inneren Klammer an:

ln (1 / √(1-x²)   =   ln 1 - ln ((1-x²)^(1/2))  =  - ln ((1-x²)^(1/2))        [weil ln 1 = 0]

Nun gibt es noch das Gesetz vom Potenzieren von Potenzen
(a^m)^n = a^(mn).
Für die Logarithem bedeutet es, dass du den Expoenten (1/2) mit dem ln multiplizieren kannst. Unsere Rechenkette geht also weiter:

ln (1 / √(1-x²)   =     - (1/2) * ln (1-x²)  = - (ln (1-x²)) / 2

Das war's.

---
Ob x² oder x³, das ist kein Unterschied bei den eben angestellten Betrachtungen. Deshalb repariere ich die Zeilen nicht extra.

Aber da der Editor mir noch etwas Zeit lässt, schreibe ich die erwähnten Potenzgesetze hier nochmal als Log-Gesetze:

ln a - ln b = ln (a/b)

ln a^m = m * ln a

ln 1 = 0

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 48

ln(1/z) = -ln(z)

(Spezialfall von ln(a/b) = ln(a) - ln(b) )

ln(√(z)) = 1/2 ln(z)

(Spezialfall von ln(a^b) = b * ln(a) )

Antwort
von Maschinenbau100, 12

Es gibt einige Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus:

ln (a/b) = ln (a) - ln (b)

ln (1) = 0

ln (a^b) = b * ln (a)

sqrt (a) = a^(1/2)   ( sqrt ist die Wurzel )

Also in deinem Fall:

ln (1/sqrt (1-x^3)) 

= ln (1) - ln (sqrt (1-x^3)) 

= - ln (sqrt (1- x^3)) 

= - (ln (1-x^3))/2

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