Frage von MeineHaustiere, 42

Kann mir jemand die Herleitung des Volumens der Pyramide erklären?

Hallo,

ich verstehe das leider überhaupt nicht.

LG

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 7

Kannst du verstehen, wie man die Fläche eines Dreiecks herleitet, indem man das Dreieck in viele schmale Streifen zerlegt, die parallel zur Grundseite verlaufen?

Bei der Pyramide geht es ähnlich, mit Schichten parallel zur Grundfläche. Nur nehmen diese quadratisch ab und nicht linear, wie beim Dreieck.

Wie habt ihr das Volumen hergeleitet?

Antwort
von Lukas2508, 24

Ich finde das schwierig zu erklären, aber dieses Video macht es meiner Meinung nach sehr anschaulich und in langsamen Schritten:

Antwort
von fjf100, 3

Volumen einer Pyramide mit Rechteckfläche.

Wir legen die Spitze der Pyramide in den Ursprung eines x-y-Koordinatensystems.Die x-Achse verläuft durch die Mittellienie der Pyramide

dV=A * dx hier ist dx die Laufvariable entlang der Höhe h

A=a *b hier sind a und b die Kanten der Grundfläche

es gilt a= ma *2 * x=(a/2)/h * 2 *x dies ist die Kante a an der Stelle x

weiter b=mb * 2 * x=(b/2)/h * 2 * x dies ist die Kante b an der Stelle x

A=a *b=a/h * b/h * x^2=a*b)/h^2 * x^2 eingesetzt

dV= A *dx=a*b)/h^2 * x^2 * dx integriert V=a *b/h^2 * integral(x^2*dx)

V=1/3 * a*b/h^2 * x^3 +C obere und untere Grenzen eingesetzt

xu= 0 untere Grenze xo=h obere Grenze

V=(1/3 * a *b/h^2 * h^3) - (1/3 *a*b/h^2 * 0)

V=1/3 * a * b * h Volumen einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche.

Antwort
von Aweza94, 2

Am schnellsten kann man das mit einem dreifach integral herleiten. Aber ob das auch am einfachsten wäre ist ne andere Frage :) 

Antwort
von k3ltis, 25

Ein Würfel kann in drei gleiche Pyramiden mit quadratischer Grundfläche zerlegt werden.

Daher das 1/3

Ansonsten ist die Formel für das Pyramidenvolumen allgemeingültig für alle Pyramiden mit beliebiger Grundfläche und alle Kegel, da Kegel und Pyramiden die gleichen Eigenschaften erfüllen.

Bei einem Kegel handelt es sich dann natürlich für die Grundfläche um eine Kreisberechnung.

Antwort
von fjf100, 3

Wir legen den Ursprung eines x-y-Koordinatensystems in die Spitze der quadratischen Pyramide

Die Kantenlänge der quadratischen Pyramide ist a

es gilt dV=A * dx hier ist A über die Laufvariable x veränderlich

weiter gilt A= (y * 2)^2=y^2 *4 

y= m *x ist eine Gerade,die durch den Ursprung geht 

Die Steigung m= (a/2)/h=a/(2 *h) also y=(a/2 *h) * x

eingesetzt  A=(a/(2 *h) *x)^2 * 4= a^2/h^2 *x^2 

ergibt dV= A *dx=a^2/h^2 *x^2 dx integriert ergibt

V=a^2/h^2 integral ( x^2 *dx) ergibt V=1/3 * a^2/h^2 * x^3 +C

V= obere Grenze minus untere Grenze  xu=0 untere Grenze xo=h obere Grenze

V=1/3  a^2/h^2 * h^3 ) - (1/3 *a^2/h^2 * 0)

V= 1/3 * a^2/h^2 * h^3=1/3 * a^2 *h Volumen einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

Antwort
von goronga, 16

V=1/3 A•h

Antwort
von xxC3POxx, 18

Reicht das?

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