Frage von Xilucha, 43

Kann mir jemand bitte die Quadratische Ergänzung möglichst simpel erklären?

Die erste Matheklausur im 9.Jahrgang des Gymnasiums steht an und ein Unterthema von den quadratischen Funktionen ist die quadratische Ergänzung,welche in der Woche durchgenommen wurde,als ich krank war....;Der Lehrer ist übrigens auch nicht der erklärungsfreundlichste und was die Mitschüler mir zu erklären versuchen,versteh ich nur Bahnhof!! Bitte DRINGEND um Hilfe!!!!!!!!!!

Bsp:Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung: x²+6x=-5

Antwort
von gfntom, 12

Quadratische Ergänzung bedeutet, du ergänzt einen Term so, dass er als Quadrat einer Summe ausgedückt werden kann.

Beispiel:
du hast den Term
a² + 6 a + 5
Wenn du das in einen quadratischen Term umwandeln willst, erkennst du aus der Beziehung (a+b)² = a² * 2ab + b², dass b =3 sein muss (weil 6a = 2ab).

Wenn du nun aber (a+3) quadrierst, erhältst du
a² + 6a + 9und das ist um 4 mehr als der ursprüngliche Term. Mit einem kleine Trick kann man sich aber helfen. Du zählst zum ursprünglichen Term (in diesem Fall) 4 hinzu und ziehst diese sofort wieder ab. Dadurch hast du in Summe 0 hinzegzählt, den Wert des Termes also nicht verändert:
a² + 6a + 5 + 4 - 4Was auf den ersten Blick sinnlos aussieht, erlaubt dir aber wie folgt zu rechnen:
(a² + 6a + 5 + 4) - 4 = (a² + 6a + 9) - 4

Der Teil rechts in der Klammer ist nun aber genau (a+3)²

also ist a² + 6a + 5 = (a+3)² -4

War das halbwegs klar?

Kommentar von gfntom ,

Dass ich genau die Zahlen aus deinem Beispiel verwendet habe, das du ergänzt hast, während ich schrieb, ist reiner Zufall!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 12

Hallo,

kennst Du die erste binomische Formel?

(a+b)²=a²+2ab+b²

Eigentlich ist es nicht wirklich eine Formel, sondern das Ergebnis einer Multiplikation eines Terms mit sich selbst.

(a+b)²=(a+b)*(a+b)=a*a+a*b+b*a+b*b

Wenn Du das zusammenfaßt, kommst Du auf a²+2ab+b², denn ab=ba und ab+ba=2ab, während a*a=a² und b*b=b² ist.

Das ist also nichts besonders Aufregendes.

Interessant wird die binomische Formel in umgekehrter Richtung:

a²+2ab+b²=(a+b)², was nicht so leicht zu erkennen ist, wenn man's nicht kennt.

Für a und b kann alles Mögliche stehen: Zahlen, Buchstaben, irgendwelche Terme mit und ohne Klammern usw. Das Schema ist immer dasselbe.

Der Vorteil bei der Schreibweise (a+b)² gegenüber a²+2ab+b² ist zum einen, daß der Ausdruck kürzer und übersichtlicher ist und zum anderen, daß er viel leichter berechnet werden kann, weil a und b nicht einmal als Quadrat und einmal in einfacher Forrm - dazu noch als Produkt vorkommen, sondern einzeln für sich stehen.

Nun gibt es quadratische Funktionen der Form f(x)=ax²+bx+c, z.B.

f(x)=2x²+2x-4 oder so etwas. So wie sie da steht, kannst Du an ihr nicht besonders viel ablesen - eigentlich nur, daß sie eine nach oben geöffnete Parabel ist (die Zahl vor dem x² ist positiv) und daß sie bei -4 die y-Achse schneidet (-4 ist die Zahl ohne x und wenn x=0 ist, also da, wo die y-Achse durchgeht, bleibt nur -4 übrig).

Es wäre doch praktisch, wenn Du auch den Scheitelpunkt ablesen könntest oder die Nullstellen der Funktion.

Deshalb wandelst Du sie um.

Zunächst klammerst Du die Zahl vor dem x² aus, nämlich die 2:

f(x)=2*(x²+x-2) Du mußt natürlich alle Summanden durch 2 teilen, bevor sie in die Klammer kommen, Wenn Du die Klammer auflöst, muß schließlich alles wieder mit 2 multipliziert werden und am Ende muß die gleiche Funktion wie am Anfang da stehen - Du darfst ja nichts Grundlegendes verändern.

Das ist schön und gut, hilft aber auch noch nicht wirklich.

Und jetzt kommt der Trick mit der quadratischen Ergänzung:

x²+x-2, der Term in der Klammer, sieht einem Binom schon recht ähnlich, jedenfalls, wenn statt a ein x steht und statt b irgendeine Zahl.

x²+6x+9 zum Beispiel. a ist x und b ist 3.

Dann ist a²+2ab+b² eben x²+2*x*3+3², also x²+6x+9.

Das funktioniert natürlich nur, wenn die Wurzel aus der Zahl ohne x die Hälfte der Zahl vor dem x ist: Wurzel aus 9 ist 3 und 3 ist die Hälfte von 6.

In unserem Beispiel x²+x-2 haut das nicht hin, denn die Wurzel aus -2 ist leider nicht die Hälfte von 1, der (nicht mitgeschriebenen) Zahl vor dem x.

Die Wurzel aus -2 ist überhaupt keine reelle Zahl, Du findest sie nirgends auf der Zahlengeraden.

Die -2 paßt also nicht. Dagegen können x²+x durchaus der Anfang eines Binoms sein, es fehlt halt nur die Zahl dahinter.

Die ist einfach herauszufinden.

Wenn x²+x der Anfang eines Binoms ist, dann entspricht dies a²+2ab

Wir wissen, daß x das a in der Gleichung ist, was wir suchen, ist b.

Wir wissen aber, daß 2ab bzw. 2xb dem x entspricht.

Um b herauszufinden, müssen wir x also einfach durch 2x teilen:

x/2x=1/2, denn x durch x hebt sich auf.

1/2 ist die Hälfte von 1 (das ist der unsichtbare Faktor vor dem x).

Um b herauszufinden, mußt Du also einfach den Faktor vor dem x halbieren.

Da Du für das Binom aber nicht b am Ende benötigst, sondern b², mußt Du diesen halbierten Faktor noch quadrieren: In diesem Fall also 1/2

(1/2)²=1/4

x²+x+1/4 ist tatsächlich ein Binom und läßt sich umschreiben als (x+1/2)²

Das 1/4 ist also die quadratische Ergänzung, die aus dem angefangenen Binom ein komplettes macht.

Noch mal zum Mitschreiben:

Nachdem Du den Faktor vor dem x² ausgeklammert und jeden Summanden der quadratischen Funktion durch ihn geteilt und in eine Klammer verfrachtet hast, teilst Du den Faktor, der jetzt in der Klammer vor dem x steht, durch 2 und quadrierst das Ergebnis. Die Zahl oder den Term, der so entsteht, addierst Du zu den beiden Summanden mit x² bzw. x.

So wird aus 3*(x²+2x) 3*(x²+2x+(2/2)²)=3*(x²+2x+1), was sich nach der ersten binomischen Formel zu 3*(x+1)² umformen läßt.

Du ziehst also aus dem x² de Wurzel und aus der quadratischen Ergänzung, packst beide als Summe in eine Klammer und versiehst die ganze Klammer mit dem Exponenten 2. Vor die Klammer kommt der Faktor, der mal vor dem x² stand und den Du gleich am ANfang ausgeklammert hast.

Jetzt gibt es nur noch ein Problemchen: Du hast zu x² und bx einfach etwas addiert, was vorher nicht da war.

Im Beispiel war das 1/4, die quadratische Ergänzung von x²+1*x

1/4=(1/2)²

Nach dem Ausklammern der 2 lautete die Funktionsgleichung
f(x)=2*(x²+x-2).

Nachdem wir die quadratische Ergänzung angewandt haben, lautet sie:

f(x)=2*(x²+x+1/4-2) und das ist ist nie und nimmer dasselbe wie vorher.

Das läßt sich aber ändern:

Du hast 1/4 addiert, dann ziehst Du sie halt wieder ab, so daß unterm Strich alles gleich bleibt:

f(x)=2*(x²+x+1/4-1/4-2)

Die -1/4-2 kannst Du zu -9/4 zusammenfassen und erhältst:

f(x)=2*(x²+x+1/4-9/4)

Da die ersten drei Summanden in der Klammer nun ein vollständiges Binom sind, kannst Du sie umformen:

f(x)=2*[(x+1/2)²-9/4]

Wenn Du jetzt die eckige Klammer auflöst, mußt Du die -9/4 natürlich mit 2 multiplizieren, bevor Du sie auf die Menschheit losläßt, denn die 2 vor der Klammer bedeutet, daß alles, was sich darin befindet, mit 2 multipliziert werden muß, also auch die -9/4.

-9/4*2=-9/2 oder -4,5

Jetzt hast Du
f(x)=2*(x+1/2)²-4,5

Das ist exakt die gleiche Funktion wie f(x)=2x²+2x-4, was Du nachprüfen kannst, indem Du wieder alles ausmultiplizierst und zusammenfaßt,
aber in dieser neuen Form kannst Du sofort den Scheitelpunkt dieser Parabel ablesen. Er hat nämlich die Koordinaten -1/2, also die Zahl, die außer dem x noch in der Klammer steht, mit umgekehrtem Vorzeichen und -4,5, die Zahl hinter der Klammer.

Du kannst nun auch leicht die Nullstellen berechnen:

2*(x+1/2)²-4,5=0

2*(x+1/2)²=4,5

(x+1/2)²=2,25

x+1/2=+/-Wurzel aus 2,25=+/-1,5

x=-0,5+1,5=1 oder x=-0,5-1,5=-2

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 21

ohne Beispielaufgaben aus der Schule zu posten, kann man schlecht helfen.

Kommentar von Xilucha ,

Danke für den Hinweis,wurde verbesser=)

Kommentar von Ellejolka ,

x²+6x = -5      auf beiden Seiten + die quadr. Ergänzung (6/2)² = 9

x² + 6x + (6/2)² = -5 + 9      links Binomische Formel

(x + 3)² = 4       wurzel ziehen

x + 3 = ± 2         auf beiden Seiten     -3

x = -3 ± 2

x1 = -1

x2 = -5

und Probe durch einsetzen.

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