Frage von Neodymidius, 38

Kann mir jemand beim Lösen von Extremwertproblemen Tipps und Tricks zeigen?

Hallo, in Mathe haben wir das Thema Extremwertprobleme angefangen. Da wäre so eine Aufgabe die ich nicht verstehe:

"Für welche ganze Zahl ist das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger am kleinsten?"

Und natürlich andere Aufgaben. Kann mir jemand bitte erklären wie man an so welche Aufgaben herangeht und die Gleichung aufstellt. Das Auflösen ist mir dann schon geläufig. :-)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 9

Hallo,

hier brauchst Du nichts zu rechnen, sondern nur ein wenig zu denken.

Die Zahl ist natürlich die Null. Vorgänger: -1, Nachfolger: 1. 1*(-1)=-1.

Für 1 und -1 ergibt das Produkt von Vorgänger und Nachfolger 0, weil einer der beiden auf jeden Fall die Null ist. Ansonsten kommen nur Produkte größer Null heraus. Entweder sind Vorgänger und Nachfolger beide positiv oder beide negativ. Du erhältst also für alle ganzen Zahlen mit Ausnahme der -1, 0 und 1 ein Produkt von Vorgänger und Nachfolger, das größer oder gleich 3 ist. Kleiner als -1 schaffst Du beim besten Willen nicht.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Herzlichen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von YStoll, 14

Das ist keine so ganz gewöhnliche Extremwertaufgabe. Hier werden nur ganze Zahlen betrachtet. Sprich: Wenn dein Minimum nicht gerade "zufällig" eine ganze Zahl ist, hast du evtl. ein Problem.

Hier zum Glück nicht.
Du sollst das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger einer Zahl betrachten. Wenn wir die Zahl "x" nennen, ist der Vorgäner "x-1" und der Nachfolger "x+1"

Das Produkt beider ist dann (x-1) * (x+1) = x² - 1.

Um jetzt das Minimum zu finden, musst du die erste Ableitung Null setzen und den entsprechenden x-Wert bestimmen.

Dann musst du mittels der zweiten Ableitung überprüfen, ob es sich wirklich um ein Minimum handelt. Diese muss dafür an der eben betimmten Stelle positiv sein.

Hast du eine Aufgabe bei der es mehrere solcher Tiefpunkte gibt bestimmst du deren jeweiligen Funktionswert. Das mit dem geringsten ist dann das so genannte "globale Minimum" (es seie denn, die Funktion ist nicht stetig oder strebt für x-> (+/-) oo gegen -oo, "oo" bedeute "Unendlich")

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 21

Du hast eine Zahl x.

Das Produkt aus Vorgänger (x-1) und Nachfolger (x+1) soll minimal werden.

Es gilt: f(x)=(x-1)*(x+1)

f(x)=x²-1

Den Rest schaffst du selber ;-)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 16

Produkt(min) = P = (x+1)(x-1)

dann Klammern lösen und Scheitelpunkt berechnen; Sx ist dann die Lösung

oder P ' = 0 setzen, wenn ihr schon Ableitung hattet.

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