Frage von maxim008, 83

Kann mir jemand bei Matrizen helfen?

Hallo,

eine trigonometrische Funktion hat die Periode p = 4. Das zugehörige Schaubild hat im Schnittpunkt mit der y-Achse eine Wendetangente mit der Gleichung y = 2x + 3. Und nun soll ich den Funktionsterm angeben.

Wie selbst die Matrix funktioniert und man den Funktionsterm berechnet, weiß ich schon. Mein Problem ist eher, dass wir noch nie eine Matrix bei trigonometrischen Funktionen angewendet haben, sondern nur bei ganzrationalen Funktionen 3. Grades. Ich weiß jetzt nicht, was ich mit der Information "Periode p = 4" oder mit der "Wendetangente mit der Gleichung y = 2x + 3 " anfangen soll, bzw. wie ich es in ein Gleichungssystem umschreiben soll. Kann mir bitte jemand erklären, wie man das machen soll?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Schachpapa, 24

Zweiter Versuch:

f(x) = a sin (b x + c) + d

I: f(0) = 3 =>  a sin(c) + d = 3
II: f'(0) = 2 => a b cos(c) = 2  
III f''(0) = 0 => -a b² sin(c) = 0 
IV f(0) = f(4) => a sin(0) = a sin(4b)

III: c=0

in I: d=3

iV: sin(0) = sin(4b) => b=pi/2

in II: a b cos(0) = 2  => a = 4/pi

Also

f(x) = 4/pi sin(pi/2 x) + 3

Und die erfüllt tatsächlich alle Eigenschaften (bei der ersten Lösung stimmte die Steigung der Wendetangente in (0|3) nicht).

Kommentar von maxim008 ,

Wie machst du das mit

IV f(0) = f(4) => a sin(0) = a sin(4b) ?

Weil ich hätte jetzt einfach mal geschrieben

IV: f(4) = 0

Aber wie kommst du auf a*sin(0) oder a*sin(4b) ?

Kommentar von Schachpapa ,

f(4) = 3 , denn das ist der gleiche Wert wie bei f(0) !

Du musst ja irgendwie einbauen, dass das Ding periodisch ist. Da habe ich dann 4b mit 2 pi verglichen.

Antwort
von Schachpapa, 56

Du gehst das genauso an wie bei den ganzrationalen Funktionen:

Die Angabe mit de Wendetangente bedeutet, dass die Funktion bei x=0 die Steigung 2 hat (wie die Tangente), dass sie durch (0|3) geht (Y-Achsenabschnitt) und dass die 2. Ableitung 0 ist (wg. Wendepunkt), Periode 4 heißt, dass sich danach  die Funktionswerte wiederholen (so wie bei sin(x) nach alle 180°)

Vielleicht hilft dir das schon weiter, ich weiß nämlich nicht, wie das Template aussieht, also das was bei ganzrationalen Fkt. f(x) = ax^3 + bx^2 + cx+d ist.

Das steht sicher irgendwo im Buch ...

Kommentar von maxim008 ,

Leider steht es da nicht da. Ich weiß nämlich selbst nicht, ob das jetzt eine Sinusfunktion oder Cosinusfunktion ist.

Kommentar von Schachpapa ,

Müste mit cos genauso gehen, die ist ja gegenüber sin nur um pi  verschoben.

Antwort
von Schachpapa, 36

f(x) = a sin (b x + c) + d

I: f(0) = 3 =>  a sin(c) + d = 3
II: f'(0) = 2 => a cos(c) = 2  
III f''(0) = 0 => -a sin(c) = 0 
IV f(0) = f(4) => a sin(0) = a sin(4b)

III: c=0
in II: a cos(0) = 2  => a = 2
in I: d=3
iV: sin(0) = sin(4b) => b=pi/4

Also

f(x) = 2 sin(p/4 x) + 3

Habe das noch nie gemacht, bin aber zuversichtlich dass es richtig ist.

Matrizen habe ich nicht gebraucht.

Kommentar von Schachpapa ,

iV: sin(0) = sin(4b) => b=2pi/4 = pi/2
Die normale Periode ist ja 2pi = 360°

Also unterm Strich f(x) = 2 sin(pi/2 x) + 3

Mit einem Funktionsplotter gezeichnet passt das zu den Angaben.

Kommentar von maxim008 ,

Eine Frage, bei

III f''(0) = 0 => -a sin(c) = 0

müsste es da nicht noch b² geben, auf Grund der Kettenregel?

Also: -ab²*sin(x) = 0 ?

Kommentar von Schachpapa ,

Hmm, wahrscheinlich hast du recht, dann ist die erste ableitung auch schon falsch. Aber in jedem Fall hat du da ein Produkt stehen, das nur dann Null wird wenn einer der Faktoren Null ist. Wenn es nicht a oder b ist kann es nur sin(c) sein, oder? Dann folgt c=0.

Kommentar von Schachpapa ,

f ' (x) = a b cos (b x + c)

f '' (x) = - a b² sin (b x + c)

Kommentar von maxim008 ,

Ich hätte da noch eine weitere Frage,bei

IV f(0) = f(4) => a sin(0) = a sin(4b)

wieso hast du es ausgerechnet so geschrieben, also wie kommst du drauf?

Ich hätte eher z.B. an f(4) = 0 gedacht. Der Graph geht durch die Stelle 4 und ist y = 0. Aber wieso a*sin(0) = a*sin(4b) Vorallem, woher kommt das b?

Kommentar von Schachpapa ,

Wir haben schon gefunden, dass d=3 und c=0:

f(x) = a sin(b x) + 3

Wenn die Periode 4 ist, dann gilt: f(0) = f(4) = f(8) usw.

a sin(b*0)+3 = a sin (b*4)+3  | -3
a sin(b*0)  = a sin (b*4)   | :a
sin(b*0)  = sin (b*4)  

Die Periode von sin(x) ist 2 pi, also ist 2 pi = 4 b  => b = pi/2

Kommentar von maxim008 ,

Ach, jetzt verstehe ich es endlich. Dankeschön! :)

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