Frage von Aleey67, 151

Kann mir jemand bei Mathe helfen, geht um Trigonometrische Gleichungen?

Trigonometrische Gleichungen mit 1 Unbekannten Aufgabe: Bestimme jeweils die Lösungsmenge! 1. Sin2x = -0.5 Lösungen: 7/12Pi, 11/12Pi, 19/12Pi, 23/12Pi Ich will den Rechenweg, da ich nicht verstehe wie man auf die Ergebnisse kommt.

Antwort
von Mamuschkaa, 21

Es gibt nicht 4 sondern unendlich Lösungen.

Solltest du kein Taschenrechner benutzen wollen sieht es so aus:

1. wir suchen die Lösungen von sin(z)=-0.5
indem wir z=2x setzen und halbieren am ende die Lösungen.
2. Sinus ist 2Pi Periodisch und hat außer für sin(z)=1 und sin(z)=-1
immer 2 Lösungen auf dem Intervall von [0,2Pi)
Wir suchen somit genau 2 Lösungen auf diesem Intervall.
3. Ich hoffe du weißt auswendig,dass sin(Pi/6)=1/2
ansonsten der Beweis:
Ein Reguläres Dreieck mit Seitenlänge 1 hat 3 Winkel von Pi/3

Wenn man nun die Höhe einzeichnest, bekommt man 2 Rechtwinklige Dreiecke mit dem Winkel Pi/6, Hypotenuse 1 und Gegenkathete 1/2

       / | \
     /   |   \
   /     |     \
/____|____\

Nun folgt das
Gegenkathete/Hypotenuse=sin(Pi/6) ist
also (1/2)/1=sin(Pi/6)
=>  sin(Pi/6)=1/2

ok, sin(z+Pi)=-sin(z)
also ist sin(Pi/6+Pi)=-1/2   =>z=7/6*Pi
Des weiteren ist Sinus Symmetrisch zu seinen Extrema,
also auch zu z=3/2*Pi
Desswegen ist wenn sin(z)=-1/2 ist
auch sin((3/2*Pi-z)+3/2*Pi)=-1/2
also  -1/2=sin(3*Pi-z)
=sin(3*Pi-7/6*Pi)
=sin(11/6*Pi)
Damit haben wir die beiden Lösunge gefunden.
Und da sinus Periodisch ist folgt
z_1=(7/6)*Pi+2Pi*n
z_2=(11/6)*Pi+2Pi*n
x=z/2
x_1=7/12*Pi+Pi*n=(7+12n)/12*Pi
x_2=11/12*Pi+Pi*n=(11+12n)/12*Pi
Für alle n aus den ganzen Zahlen.
für n=0 und n=1 bekommst du deine 4 Lösungen, aber es gibt natürlich noch unendlich mehr davon.

Antwort
von Halswirbelstrom, 35

In der trigonometrischen Gleichung sin(2x) = -0,5 ist die Variable x ein Winkel im Bogenmaß, wobei es zweckmäßig ist, Winkel im Bogenmaß als Vielfaches bzw. Bruchteil von π zu benennen. Wenn ein Taschenrechner verwendet wird, dann ist selbiger vorher auf Bogenmaß (Radian) einzustellen. Für den Winkel  x = 7π/12 rad lautet die gegebene trigonometrische Gleichung 

sin(2x) = sin(2·7·π/12 rad) = -0,5

Die Einheit rad drückt lediglich aus, dass das Winkelargument der Sinusfunktion ein Winkel im Bogenmaß ist und damit Verwechselung mit Winkel im Gradmaß vorgebeugt werden soll. Die Einheit rad besitzt keine algebraische Bedeutung, d.h., dass sie in diesem Sinne ignoriert wird.

LG

Kommentar von Aleey67 ,

sin(2x) = sin(2·7·π/12 rad) = -0,5

Soweit stimmt es ja, das -0.5 rauskommt, aber abgesehn davon das ich dann die Lösungen nicht vorgegeben habe, wie soll ich drauf kommen das ich (2x7xPi/12) rechne, die lösung ist ja 7/12Pi.. Und vorgegeben seie dann nur sin2x =-0.5

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Siehe Antwort auf Deine Frage von "iokii" .

Antwort
von slon333, 58

sin(2x) = -0,5

<=> 2x = arcsin(-0,5)

<=> x = arcsin(-0,5) / 2

<=> x = -(1 / 12) * PI

So, das heißt bei sin(2 * -(1 / 12) * PI) = sin(-(1 / 6) * PI) kommt -0,5 raus. Da die Sinuskurve aber 2 mal an einer Stelle vorbeikommt, wo der Sinus den Wert -0,5 hat, muss es innerhalb von -PI bis 0 noch eine Stelle geben. 

Diese Stelle hat von -PI richtung 0 den selben Abstand wie unser erstes Ergebnis von 0. Also -PI + 1/6 * PI = -(5 / 6) * PI ist die andere Stelle für x wo die Funktion -0,5 annimmt. 

Jetzt dürfen wir aber nicht vergessen, dass die ursprüngliche Funktion 2 * x als Sinusargument hat. Daher formen wir unsere zweite Stelle entsprechend um -(5 / 6) * PI = 2 * -(5 / 12) * PI. Wie gesagt, die 2 gehört nicht(!) zur Lösung.

Unsere gesucht Werte für x wo der Sinus -0,5 annimmt sind x_1 = -(1 / 12) * PI und x_2 = -(5 / 12) * PI.

Da der Sinus aber eine periodische Funktion ist und sich damit immer und immer wieder wiederholt gibt es unendlich viele Lösungen, also erweitern wir unsere beiden Lösungen, um unendlich viele Lösungen darstellen zu können, folgendermaßen:

x_1 = -(1 / 12) * PI + k *  PI, wobei k eine ganzzahlige Zahl ist

x_2 = -(5 / 12) * PI + k * PI, wobei k auch hier eine ganzzahlige Zahl ist

Fast fertig ;-). Wir testen nur mal, ob dein erstes Paarergebnis auch in unserer Lösung liegen:

x_1 für k = 1: -(1 / 12) * PI + 1 * PI = 11 / 12 * PI

x_2 für k = 1: -(5 / 12) * PI + 1 * PI = 7 / 12 * PI

Wenn du k = 2 wählst, bekommst du die nächsten beiden Ergebnisse deiner Lösung raus usw.

Puh, bisschen lang, aber ich hoffe, dass du damit was anfangen kannst.


EDIT: Da wir hier im Bogenmaß rechnen, solltest du deinen Rechner auf RAD (anstelle von DEG) stellen. 

Kommentar von Aleey67 ,

Habe es leicht verstanden und werde, wenn ichs nicht verstehe noch weitere 100x durchlesen!! Auf diese Antwort habe ich gewartet! Danke dir herzlich. Daumen hoch!

Kommentar von slon333 ,

Lass dir Zeit. Wenn du das erstmal begriffen hast, wirst du auch in Zukunft solche Aufgaben hinbekommen :-)

Kommentar von Aleey67 ,

Du hast bei dir gerechnet;

x_1: 1:-(1/12)Pi +1mal Pi

Ich kriege da wenn ich das eintippe -11Pi raus und nicht -11/12

Jedoch wenn ich vorne die 1 weglasse kriege ich es raus.

Sollte die weggelassen werden? Wozu dient die.. :(

Kommentar von slon333 ,

Okay, merkwürdig. Also wenn du -(1/12)PI +1PI = -(1/12)PI+12/12PI (Brucherweiterung) hast, dann siehst du eigentlich sofort dass -1/12 + 12/12 genau 11/12 ergeben. Vielleicht hast du dich ja vertippt ?

Kommentar von slon333 ,

Oh, jetzt sehe ich deinen Fehler die "1:.." vorne gehört nicht zum Rechenweg, ich meinte das so:

x_1 für k = 1: -(1 / 12) * PI + 1 * PI = 11 / 12 * PI

x_1 heißt deine erste Lösung und k = 1 bedeutet du setzt für k gleich eins.

Verstehst du was ich meine ?

Kommentar von Aleey67 ,

Alles klar :D danke.

Eine frage wäre da noch.. Du hast oben 

2mal -(5/12)Pi

Gerechnet.. Wie kommst du auf die -(5/12)

Kommentar von slon333 ,

Wir haben ja ermittelt, dass sin(-5/6 * PI) = -0,5 sein muss. Das wäre für sin(x)=-0,5 direkt die Lösung. 

Aber unsere Funktion lautet ja sin(2*x) =-0,5. D.h. wir müssen unser Ergebnis anpassen, indem wir folgendes tun:

Wenn wir also dem Sinus eine *2 in seine Klammer stecken, dann müssen wir auch in den Nenner eine 2 stecken, damit das Ergebnis nach wie vor -0,5 bleibt, daher:

sin(2/2 * -5/6 * PI) = sin (2 * -5/12 * PI) = -0,5

Ich hoffe das wird dadurch klarer. Ansonsten kannst du dir Mamuschkaas Beitrag ansehen. Er hat substituiert und hat er von Anfang an gesagt sin(2x) = sin(z), sprich er setzt z = 2x. Damit führt er die Rechnung durch und am Ende macht er die Substitution wieder rückgängig, damit das Ergebnis nicht verfälscht wird.

Kommentar von Aleey67 ,

Gut, ich habe es verstanden.. Nun hab ich mir eine andere aufgabe angeguckt und bin verzweifelt, habe versucht den gleichen Rechenweg hier anzuwenden aber klappt irgentwie nicht ganz :/

Sin 2x = cos x

Kommentar von slon333 ,

Hier muss man wissen, dass sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x).

sin(2x) = cos(x) 

<=> 2*sin(x)*cos(x) = cos(x) | / cos(x)

<=>2*sin(x) = 1

<=> sin(x) = 1/2

<=> x = arcsin(1/2)

<=> x = (1/6) * PI

Kommentar von Aleey67 ,

Habs verstanden kann es auch nachvollziehen, aber alleine komme ich einfach nicht drauf.

Habe jetzt: 2x (1/6)Pi = sin (1/6)Pi

-PI  -(1/3) Pi = -(2/3)Pi

2x -(2/3)Pi = -(4/3)Pi

Wie vorher auch

-(4/3)Pi + 1 mal Pi... =-1/3Pi

Falsches ergebnis.

Kommentar von slon333 ,

Geht es bei dir jetzt um die Aufgabe sin(2x) = cos(x) ?!

Kommentar von Aleey67 ,

Ja..

Kommentar von slon333 ,

Okay, ist ja nicht schlimm. Jeder fängt irgendwo mal an. Ich mach es mal etwas ausführlicher.

Du hast sin(2x) = cos(x)

Das was jetzt kommt, muss man einfach wissen und es nutzen (Ich selbst habe es gegoogelt): sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x). Wir nutzen diese Gleichung aus und setzen sie in unsere Anfangsgleichung für sin(2x) ein. Damit erhalten wir folgende Gleichung: 2 * sin(x) * cos(x) = cos(x). Ab hier werde ich jeden noch so kleinen Rechenschritt rechts von der Gleichung, gekennzeichnet mit dem Vertikalstrich "|..", angeben.

2 * sin(x) * cos(x) = cos(x) | / cos(x)

<=> 2 * sin(x) * cos(x) / cos(x) = cos(x) / cos(x) | kürzen

<=> 2 * sin(x) * 1 = 1 | *1 kann man auf der linken Seite weglassen

<=> 2 * sin(x) = 1 | / 2

<=> 2 * sin(x) / 2 = 1 / 2 | kürzen

<=> sin(x) = 1 / 2 | sin^1 Notiz: sin^1 ist die Umkehrfunktion von der Sinusfunktion und wird auch Arkussinus oder arcsin gennant.

<=> arcsin(sin(x)) = arcsin(1 / 2) | kürzen

<=> x = arcsin(1 / 2) | ausrechnen per Taschenrechner

<=> x = (1 / 6) * PI

Die Zeichen "<=>" nennt man Äquivalenzpfeile und im Grunde repräsentiert jeder dieser Pfeile eine Umformung oder einfacher gesagt einen Schritt in der Rechnung ;-)

Ich hoffe, dass du das jetzt besser nachvollziehen kannst.

Kommentar von Aleey67 ,

Ja, ich habe es verstanden..

Habe aber schon weitergerechnet und komme auf das falsche Ergebnis.

Ich weis nicht was daran falsch ist, bin genauso vorgegangen wie bei Aufgabe 1..

Kommentar von slon333 ,

Achso, du willst alle Lösungen aufstellen. Na, zumindest die Lösung die wir gefunden haben x = (1 / 6) * PI müsste sich jede volle Periode wiederholen, also können wir die Lösung zu x' = (1 / 6) * PI + k * 2 * PI erweitern, wobei k wieder ganzzahlig ist.

Es ist durchaus möglich, dass es noch weitere Lösungen gibt. Bei dieser Gleichung sollte man aber doch lieber mit Substitution arbeiten, so wie Mamuschkaaa es gemacht hat. Denn hier kann man das intuitiv nicht so gut erkennen (zumindest ich nicht).

Kommentar von slon333 ,

Oha, siehe da, was hab ich da gefunden, gleich alle drei Lösungen auf einmal ;-D

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sin(2+*+x)+%3D+cos(x)

Unsere bisherige Lösung ist übrigens eine von den drei (siehe unter "Solutions"). Übrigens ist das "n" € Z auf der Seite die Ganzzahl wie vorhin das k bei unserer Rechnung.

edit: Pass auf, dass du den gesamten Link kopierst!

Antwort
von iokii, 60

Weist du denn, was du in den Sinus einsetzten musst, damit -0.5 rauskommt?

Kommentar von Aleey67 ,

Also ehrlich gesagt weis ich garnix was mit der Aufgabe zutun hat :/

Kommentar von iokii ,

Könntest du denn die Aufgabe e^2x=0.5 lösen?

Kommentar von Aleey67 ,

Nein o.o

Kommentar von iokii ,

Ok, also erstmal : Es gibt eine Umkehrfunktion für den Sinus (also eine, die den Sinus rückgängig macht), die nennt sich arcsin bzw. sin^-1. Wenn du die jetzt auf beide Seiten der Gleichung anwendest erhälst du 



Sin2x = -0.5
<=> Arcsin ( Sin (2x))=Arcsin(-0.5)

<=> 2x=Arcsin(-0.5)

Dann musst du nur noch per Taschenrechner herausfinden, welche Zahl Arcsin(-0.5) ist und du hast eine ganz einfache Gleichung.

Wobei du dann nur eine der Lösungen erhällst, die Gleichung hat ja beliebig viele, weil der Sinus sich alle 2pi wiederholt.

Kommentar von Aleey67 ,

Und wie finde ich diese zahl für Arcsin (-0.5)

Kommentar von iokii ,

Das gibst du in den Taschenrechner (oder Google) ein.

Kommentar von Aleey67 ,

Ich habe jetzt gerechnet, habe am ende Sinx -1/6Pi und 0.5 raus, also stimmt es.. Aber meine eigentliche frage war ja auch, wie ich auf diese 4 Ergebnisse nun komme. Ich bedanke mich trotzdem Herzlich bei dir, das du dir auch die Mühe machst mir es zu erklären. :)

Kommentar von iokii ,

Die anderen Lösungen kommen daher, dass sin(x)=sin(x+2pi) gilt, in deinem Fall also sin(2x)=sin (2x+2pi))=sin(2*(x+pi)) , wenn du also irgendeine Lösung hast, kannst du auch pi dazu addieren oder abziehen und dann kriegst du eine andere Lösung.

Kommentar von Aleey67 ,

Wie du schon  sagtest 'wenn du eine Lösung hast...' leider kriege ich ja keine lösung raus. Mir wurde lediglich jetzt erklärt, das ich falls ich etwas rechne -0.5 rauskriege, was richtig ist.. Müsste aber jetzt wissen wie ich die Lösung rauskriege damit ich die 'Lösungen( 7/12Pi etc.) rauskriege.

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