Frage von riddler8, 40

Kann mir jemand bei einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe helfen?

2 Würfeln werden gleichzeitig gewürfelt.
Die kleinere Augenzahl wird von der größeren abgezogen, wird somit das Ergebnis 0 erzielt, gewinnt man 2 Euro ( Teilnahme 30 Cent)
Ist das fair? ( das ist eine aufgabe in meinem hefter ... Also irgendwas mit 1,80 Euro, nur leider kann ich meine alten Aufzeichnungen nicht nachvollziehen, also wie ich auf das Ergebnis gekommen bin)
Bitte um Hilfe

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 19

Hallo,

eine schlampig gestellte Aufgabe. 

Null kann das Ergebnis nur bei einem Pasch sein, wenn also beide Würfel die gleiche Augenzahl zeigen. Von einer kleineren und einer größeren Zahl kann also keine Rede sein.

Es gibt unter den 36 möglichen Kombinationen 6 Päsche.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch beträgt also 6/36=1/6

Der Erwartungswert liegt also bei einem Gewinn in sechs Spielen.

Sechs Spiele kosten 1,80 Euro, ergeben aber im Schnitt 2 Euro Gewinn, das macht 20 Cent zu Deinen Gunsten.

Das Spiel ist also nicht fair, weil Du pro Spiel mit einem Gewinn von 20/6=3,33 Cent rechnen kannst.

Das Spiel wird nur dann fair genannt, wenn sich Einsätze (Verluste) und Gewinne die Waage halten.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von bergquelle72 ,

Da Du jetzt auch noch über die Bedeutung des Wortes Fair nachdenkst - ich hätte es als fair bezeichnet, da man eine positive Gewinnerwartung hat - das ist jetzt aber eine gefühlsmäßige Definion von "fair"

Kommentar von Willy1729 ,

Im realen Leben mag das so sein; in der Stochastik aber bezeichnet fair den Ausgleich zwischen Gewinn und Verlust. Nur solche Spiele werden als fair bezeichnet, bei denen - theoretisch natürlich - am Ende 0 herauskommt, wenn man Gewinne und Verluste gegenrechnet.

Kommentar von bergquelle72 ,

ich weiß !!

Kommentar von Willy1729 ,

Davon ging ich aus. Die Anmerkung war eher für den Fragesteller und andere bestimmt, denen das vielleicht nicht so klar ist.

Kommentar von riddler8 ,

Ist das eine relative Häufigkeit, da das nur Nährungswerte sind ( es muss von den 6 würfen keine null auftauchen) oder eher Wahrscheinlichkeit? Oder habe ich deren Bedeutung vollkommen verpeilt und das lässt sich nicht hier zuordnen..?

Kommentar von Willy1729 ,

Das ist nur theoretisch so. Die wirklichen Ergebnisse können natürlich davon abweichen.

Es ist aber so, daß sich die tatsächlichen Ergebnisse bei genügend vielen Wiederholungen immer mehr dem Erwartungswert angleichen.

Das fair bezieht sich lediglich auf den rechnerischen Erwartungswert. Natürlich kannst Du auch bei einem fairen Spiel gewinnen oder verlieren.

Kommentar von riddler8 ,

Also ,,relative Häufigkeit''?

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn der Erwartungswert für einen Pasch bei 1/6 liegt, ist das eine relative Häufigkeit, weil hier keine konkrete Anzahl genannt wird, sondern nur der Anteil der Päsche unter den möglichen Kombinationen.

Wenn Du 30 mal würfelst und 5 Päsch erzielst, ist 5 die absolute Häufigkeit, 1/6 oder 16,67 % die relative Häufigkeit.

Antwort
von bergquelle72, 21

Ist doch ganz einfach: 2 Würfel: also 36 Möglichkeiten

Welche fürhern zur Differenz 0 ? Nur die 6 Pasche.

Also P(Gewinn) = 6/36 und P(Verlust) = 30/36

Erwartungswert = (2€-0,3€)*P(Gewinn) + (-0,3€)*P(verlust)

= 1,7€ *1/6 - 0,3€ * 5/6 = ..... ???

Kommentar von Tannibi ,

Einerseits finde ich diese Darstellung deutlich wirrer als meine, andererseits ist der Erwartungswert pro Spiel 2.00/6 - was du meinst, ist die Differenz zwischen Erwartungswert und Einsatz.

Kommentar von bergquelle72 ,

Was ich meine ist die Gewinnerwartung.

Antwort
von Tannibi, 22

Also, 0 kann nur bei zwei gleichen Zahlen entstehen. Die Wahrscheinlichkeit
dafür ist 1/6, also macht man im Schnitt einen Gewinn. 1,80 wäre ausgeglichen.

Kommentar von bergquelle72 ,

im Schnitt einen Gewinn von 1,8€ ???

Wie kommst Du darauf ? Das wäre ja ein super Spiel.

Ich habe: 0,03333.. € errechnet

Kommentar von Tannibi ,

Nein, im Schnitt wird bei jedem 6. Spiel ein Pasch gewürfelt.
Der Gesamteinsatz dafür beträgt 1,80. Da man aber 2,00
ausbezahlt bekommt, macht man im Schnitt Gewinn.

Kommentar von bergquelle72 ,

Sehr seltsam formuliert, aber in der Logik auch richtig.

Deinen Text hatte ich falsch interpretiert, da ist ein kleiner Punkt hinter dem Wort "Gewinn", den habe ich übersehen und verstanden: Einen Gewinn (von) 1,80€.

Wie gesagt: sehr strange aber richtig!

Kommentar von Tannibi ,

Wie gesagt: sehr strange aber richtig!

Ich glaube nicht, dass man es viel klarer
formulieren kann. Wenn du die Satzzeichen
übersiehst, ist das nicht meine Schuld.

Kommentar von bergquelle72 ,

Habe ich Dir jetzt auf die Füße getreten ? Das täte mir leid!

Mit "strange" meine ich: die "normale" Vergehensweise ist, den Erwartungswert zu berechnen. Wenn dieser = 0 ist ist es fair, wenn er größer ist, dann freuen wir uns, wenn er kleiner ist, dann lassen wir die Finger von dem Spiel.

Kommentar von bergquelle72 ,

Nachtrag: in diesem Text meinte ich die Gewinnerwartung

Antwort
von Tannibi, 21

Das ist natürlich nicht fair, weil man verschiedene Zahlen
subtrahiert, und da kann gar nicht 0 rauskommen.

Kommentar von bergquelle72 ,

hahaha .. er hat 2 Würfel, wenn beide die gleiche Zahl ergeben dann erhält man ... nun ?

Kommentar von Tannibi ,

Die kleinere Augenzahl wird von der größeren abgezogen

Welche von zwei gleichen Zahlen ist die kleinere?

Kommentar von bergquelle72 ,

an dieser Stelle ist die Aufgabe unsauber formuliert.

Es war sicherlich so gemeint: bei Gleicheit ist es egal welche Zahl von welcher abgezogen wird. Das ist aber auch logisch, daß es so gemeint war, denn sonst kann man nie 0 erreichen.

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