Frage von ImStillawakeYes, 55

Kann mir jemand bei einer trigonomischen Gleichung helfen?

Hallo und guten Abend auch :)

Ich arbeite jetzt seit 2 Jahren an meinem Realschulabschluss über ein Fernstudium .. Nicht mehr lange und ich habe meinen Abschluss (hoffentlich) und ein Burn out (ganz sicher ^^)

Besonders Mathe macht mir schwierigkeiten ...

In den Ordnern die ich von der Schule zugeschickt bekomme, stehen die Lösungen zu den Aufgaben am Ende ... wenn der Lösungsweg allerdings fehlt hilft mir das wenig ^^ meistens gelingt es mir noch die Lösung irgendwie herzuleiten .. aber diesmal bin ich verzweifelt !!

Die erste Aufgabe ist folgende ...

cos (x +15°) =0,94 Es soll mit x +15 substituiert werden ... ich nenne das mal z

Cos z = 0,94 ... soweit versteh ich das ... Dann steht hier folgendes : z1= 0,349 rad bzw. 19,95° z2 = (2* pi -0,349) rad = 5,934 rad bzw. 340.05 °

Also alpha 1 = 4,95° und alpha 2 = 325,05° Oder Angabe im Bogenmaß (15°= 0,262 rad )

x1= 0,087 x2= 5,672

L = {0,087; 5,672}

Diese Aufgabe hat mir eindeutig zu viele Lösungen :D ich weiß nichtmal wann und an welcher Stelle resubstituiert wurde.. egal welche Werte ich eingebe..ich komme auschließlich auf die 19.95° :/

Hoffe mir kann jemand die Aufgabe erklären ... bin echt am verzweifeln ich komme einfach nicht weiter ><

Danke für jeden der sich diesen horror anschaut :D !!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von TanjaStauch, 14

Okay... ich bin hier kein Mathe-Experte, aber real lebe ich davon, solchen Kram zu vermitteln.

Jo, trigonometrische Funktionen sind ihrem Wesen nach periodisch. Wie der Zeiger an einer Uhr, der plötzlich wieder da steht, wo er gestern schon mal war.

D.h. spätestens nach 360 ° (enspricht 2 pi) wiederholt sich alles. Deshalb ist meist die Definitionsmenge beschränkt. Z.B. D=[0; 2 pi].

Aber ziemlich jeder Winkel hat alleine schon innerhalb einer Periode zwei Lösungen.

Bei so was skizziere ich grundsätzlich den "Einheitskreis".

Ein Kreis um den Ursprung mit Radius 1.

Der Cosinus entspricht dem X-Wert (rechts), der Sinus dem Y (hoch).

Mache bei X=0,94 (also irgendwo zwischen 0 und 1) einen senkrechten Strich. Der schneidet deinen Einheitskreis an zwei Stellen.

Die eine ergibt einen Winkel von 19,95°  (das glaube ich deinem Rechner jetzt einfach mal).

Die andere liegt unterhalb der X-Achse. Du bekommst sie durch Spiegelung an ihr. Also durch Spiegelung an 360°. Damit wäre ich bei 340,05°.

Das wären zwei Lösungen innerhalb einer Umdrehung. Falls eine zweite definiert ist, zählst du jeweils 360 ° hinzu.

ABER:

Die Gleichung heißt cos x.

X ist ein lateinischer Buchstabe, kein griechischer (wie z.B. ein Alpha). Also geht es nicht um das alt-babylonische Gradmaß (vom Kalender stammend). Sondern um das Bogenmaß. Stell deinen Rechner auf RAD statt auf DEG.

Er wird dir eine mickrige Komma-Zahl ausspucken, die deinen 19,5 ° entspricht. (Lösung 1).

Ziehe sie (siehe Einheitskreis) von 2 * pi (also von 6,28...) ab und du erhältst Lösung 2.

Falls kein Definitionsbereich angegeben ist, gibt es tätsächlich unendlich viele Lösungen. Da hilft ein Trick:

L={{2pi*k+Lösung1; 2pi*k+Lösung2}} mit k Element (ich finde das passende Symbol jetzt nicht) von Z (= Menge der ganzen Zahlen) (jo: das kann man hinschreiben!).

Damit hast du alle tatsächlichen Lösungen angegeben, ohne dass du "unendlich" viele schreiben musst.

Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Grüße,

Tanja

Kommentar von ImStillawakeYes ,

Danke Danke Danke für diese ausführliche Antwort :)!! Man merkt das du sowas nicht zum ersten mal erklärst! Den Einheitskreis kenn ich zwar, es fällt mir aber immer schwer eine Gleichung damit zu verbinden .. aber so betrachtet ergibt das ganze endlich einen Sinn juhe :D also nochmal danke :)!! 

Kommentar von TanjaStauch ,

Falls die Antwort wirklich hilfreich war, darfst du sie gerne auch "prämieren". Ich hätte nichts dagegen, wenn ich unter den bereits vorhandenen "Mathe-Experten" mitmischen  darf. Ich glaube, ich wäre die erste Frau in diesem erlauchten Kreis.

:)

Antwort
von henzy71, 24

Also pass uff....

Substituiert wurde exact 1 Mal und zwar genau da, wo du selber schon gesagt hast. x + 15° = z

dann cos z = 0.94. Daraus z errechnen. Der Taschenrechner gibt dir "nur" 19.95°. ABER dann musst du noch wissen, wie die Kosinusfunktion aussieht. Es ist nämlich so, dass zwar jeder Winkel nur einen Kosinus hat (definition einer Funktion - jeder x-Wert nur 1 y Wert) aber jeder Kosinus taucht 2 Mal auf und zwar bei Winkel x und Winkel 360° - x. Der einzige Wert der somit nur 1 Mal auftaucht ist der Kosinus von 180°, weil 360° - 180° = 180° und der cos 180° = -1.

Faktisch hast du die beiden Winkel z bestimmt und dann x ausgerechnet weil x= z - 15°.

Daher eine Lösungsmenge von 2 Werten. Noch Fragen?

Gruß

Henzy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 22

cos z = 0,94

jetzt cos^-1 (0,94) = 19,95° ; jetzt in rad

dann 19,95 • pi / 180 = 0,35

15° = 15 • pi / 180 = 0,26

0,35- 0,26 = 0,09

Antwort
von YStoll, 16

Also aus Sicht eines Mathematikers sind 2 Lösungen eher zu wenig.

Es gibt (abzählbar) unendlich viele!

Denn cos (x) = cos (x + 2 * pi) im Bogenmaß
bzw. cos (x) = cos ( x + 360°) im Gradmaß.

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