Frage von maxim008, 93

Kann mir jemand bei einer Funktion 3. Grades helfen?

Hi,

ich soll bei einer Funktion 3. Grades deren Funktion herausfinden. Das heißt, ich weiß nicht wie sie aussieht. Es ist nur gegeben, dass der Extrempunkt bei P(1|4) liegt und der Wendepunkt bei Q(0|2).

Ich bin mal so vorgegangen: ax³ + bx² + cx + d

1.)

f´(1) = 4

3ax² + 2bx + c = 4

3a + 2b + c = 4

2.)

f´´(0) = 2

6ax + 2b = 2

2b = 2

b = 1

Ich habe bis jetzt durch die zweite Ableitung b herausgefunden, aber man braucht normalerweise mindestens 2 bekannte Variablen um entweder das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren einsetzen zu können. Könnte mir bitte einer von euch vielleicht weiterhelfen?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 49

Wie kommst du auf f'(1) = 4?

Wenn die Funktion dort ein Extremum hat, verläuft die Funktion f(x) selbst durch diesen Punkt und ihre Ableitung dort verschwindet.

Analog für den Wendepunkt.

Damit hast du vier Bedingungen für die vier Koeffizienten des Polynoms.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 10

Du brauchst für jede Unbekannte eine Formel,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

Bei diesen Aufgaben muss man immer ableiten,bis nichts mehr geht.Die Formeln werden dabei nummeriert,damit man den Überblick behält.

1. y=f(x)=a3 *x^3 +a2 *x^2 +a1 *x +ao Unbekannte a3,a2,a1 u. ao (4 Unb.)

2. y`=f´(x)=3 *a3 *x^2 +2 *a2 *x +a1

3. y´´=6 *a3 *x +2 *a2

4. y´´´=6 *a3

Wendepunkt bei xw=0 und yw=2 und eine Extremstelle xex=1 undyex=4

Bedingung Wendepunkt f´´(xw)=0 und f´´´(xw) ungleich NUll

Extrempunkt f´(xex=0 und f´´(xex) <0 Maximum oder f´´(xex)> 0 Minimum

in 3. f´´(xw)=0=6 *a3 * 0 + 2 * a2 ergibt a2=0

2. f´(xex)=0=3 *a3 * 1^2 + a0 ergibt a1= - 3 a3

1. f(xw)=2= a3 *0 -3 *a3 *0 +ao ergibt ao=2

1. f(xex)=4=a3 * 1^3 - 3 *a3 * 1+ 2 ergibt (4-2)=a3 * (- 2) ergibt a3= - 1

Endformel somit y=f(x)= - 1 *x^3 + 3 *x +2

Probe : y=f(xw)= -1 *0^3 + 3 *0 +2=2

f(xex)=- 1 *1^3 + 3 *1 +2 = 4

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 45

Hallo,

der Reihe nach:

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f(1)=4 bedeutet:

a+b+c+d=4

f(0)=2 bedeutet:

d=2

f(x)=ax³+bx²+cx+2

Extremstelle bei x=1 bedeutet:

f'(1)=0

f'(x)=3ax²+2bx+c

f'(1): 3a+2b+c=0

Wendestelle bei x=0 bedeutet:

f''(0)=0

f''(x)=6ax+2b

f''(0): 2b=0

b=0

f(x)=ax³+cx+2

f(1): a+c+2=4

a+c=2

a=2-c

Da b=0 ist f'(x)=3ax²+c

Dann ist f'(1): 3a+c=0

Da a=2-c:

3*(2-c)+c=0

6-3c+c=0

2c=6

c=3

a=-1, weil a=2-c

f(x)=-x³+3x+2

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von maxim008 ,

Ok, ich hätte da aber ein paar Fragen noch. Extremstelle ist doch die erste Ableitung und Wendestelle die 2. Ableitung. Das ist auch der Grund, wieso ich z.B. f´(1) = 4 geschrieben habe. Ich dachte, man muss sofort die Ableitung machen.

Und dann die zweite Frage, wieso, wenn du dann die Ableitungen machst, ist f´(1) und f´´(0) bei dir gleich 0? Wieso denn das?

Kommentar von Willy1729 ,

Eine Funktion hat dort eine Extremstelle - Maximum, Minimum oder Sattelpunkt - wo die erste Ableitung gleich Null ist. Eine Tangente, die dort an den Graphen angelegt wird, verläuft waagerecht, die Steigung ist an dieser Stelle gleich Null. Die erste Ableitung liefert die Steigung einer Funktion an jedem Punkt, für den eine Steigung bestimmt werden kann.

Da, wo eine Funktion eine Wendestelle hat, hat die erste Ableitung eine Extremstelle. Die zweite Ableitung, die Ableitung der ersten Ableitung, muß dort also Null sein.

Wenn Du also weißt, daß eine Funktion bei x=1 eine Extremstelle hat, bedeutet dies, daß f'(1)=0.

Gibt es bei x=0 eine Wendestelle, dann bedeutet dies: f''(0)=0


Kommentar von maxim008 ,

Ach jetzt verstehe ich das ganze. Vielen Vielen Dank!!!!

Antwort
von iokii, 38

Du weist noch, dass f durch die Punkte P und Q geht, das sind deine anderen beiden Bedingungen.

Kommentar von maxim008 ,

Hab ich doch schon gemacht. Die beiden Gleichungen gehören zu P und Q.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 32

nee,

f(1)=4

f '(1)=0

f(0)=2

f "(0)=0

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten