Frage von hihabeeinefrage, 28

Kann mir jemand bei einer Aufgabe zum Thema Exponentialfunktionen helfen?

Hallo, ich habe die Aufgabe: Ein Unternehmen möchte seinen Umsatz durch Werbung monatlich um 12% steigern. Wie geht das? Ich habe die Formel f(x)=a*b^x. Was wäre dann aber b? 12 oder 0,12 und im Internet stand 1,12 aber warum??? Und a wäre 1? Es wäre echt super, wenn jemand antworten könnte ich verstehe nämlich gerade gar nichts mehr. Danke schön :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von uncledolan, 16

Die 1,12 (anders ausgedrückt 112/100) ist eine Dezimalzahl. Nimmst du irgendeine Zahl mal 1,12, so erhälst du 112% (also die alte Zahl + 12% der alten Zahl).

z.B.: 10 * 1,12 = 11,2

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Wenn du eine Zahl mal 12 nimmst, erhälst du das Zwölffache der Zahl:

z.B.: 10 * 12 = 120

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Wenn du eine Zahl mal 0,12 nimmst, erhälst du nur 12% der Zahl.

z.B.: 10 * 0,12 = 1,2

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Du siehst also, um "die alte Zahl plus 12%" zu bekommen, musst du mal 1,12 rechnen, alles andere macht keinen Sinn!

Diese 1,12 jetzt in die Formel einsetzen:

f(x) = a * b^x

Hierbei stellt a den alten Umsatz (bzw. den Ausgangswert bevor Werbung geschaltet wurde) dar, b stellt den Vervielfältigungsfaktor in Dezimalschreibweise dar (also 1,12 -> Erklärung oben). Da du keinen alten Umsatzwert weißt, kannst du 1 als Wert belassen, die Dezimalzahl die herauskommt ist dann das Wachstum

Also, alles eingesetzt: f(x) = 1 * 1,12^x

Als x drückt man die Zeit in Monaten aus, also bedeutet z.B. x = 0
den Ausganswert, x = 1 nach einem Monat Werbung, x = 5 nach 5 Monaten
Werbung etc..

Wenn jetzt die Aufgabe z.B. ist, das Umsatzwachstum nach 3 Monaten auszurechnen, setzt du für x die 3 ein:

f(3) = 1 * 1,12^3 = 1 * 1,404928 = 1,404928

1,404928 bedeutet, dass nach 3 Monaten der neue Umsatz 140,4928% des alten Umsatzes ist, also ein Wachstum von 40,4928%. Das Wachstum in Prozent ist also jeweils die Ergebnis-Dezimalzahl minus 1 und dann mal 100%.

Kommentar von hihabeeinefrage ,

Vielen, vielen Dank! Das hat mir sehr geholfen :)

Antwort
von JohannMaxZie, 8

Ganz einfach. Das "a" in der Formel ist ein Platzhalter, für den Umsatz des Unternehmens. Zur Vereinfachung der Aufgabe wurde also kein Umsatz angegeben. Du brauchst das "a" also garnicht zum Lösen deiner Aufgabe.

Meistens werden (aus der Natur ) Wachstumsvorgänge mit Exponentialfunktionen beschrieben.

Beispiel: Du kaufst eine Zimmerpflanze und stellst fest: sie wächst im ersten Monat um 2 Zentimeter. Die Pflanze ist 10 Zentimeter hoch. Weil du neugierig bist interessiert dich, wie hoch deine Pflanze in drei Monaten ist, wenn sie genauso schnell weiterwächst. Dafür kannst du eine Exponentialfunktion verwenden.

Deine Pflanze war vorher 10 und ist jetzt 12 Zentimeter. Dein Wachstumsfaktor ("b" in der Formel) ist also 12cm/19cm=1,2

(oder in  Worten: deine Pflanze ist nach 1 Monat um 20% größer als voher)

Um die Größe deiner Pflanze in 3 Monaten berechnest du also so:

12cm (="a" so groß ist sie jetzt gerade) *(mal) 1,2 ("b"Wachstumsfaktor/ =sagt dir um das  wievielfache  deine Pflanze jeden Monat wächst) * 1,2( Wachstum zweites Monat) * 1,2 (Wachstum drittes Monat).

das kannst du dann zusammenfassen zu: Pflanzenhöhe in 3 Monaten = 12cm *(1,2)³  = 20,7cm

Dein "x" aus deiner Formel ist also 3, es gibt immer an wie viele Betrachtungseinheiten vergehen (im Beispiel sind das die Monate).

genauso gehst du bei deiner Aufgabe vor, ob das ein Unternehmen, eine Pflanze, oder irgendetwas anderes ist für dich eigentlich egal.

Antwort
von DietmarDreist, 12

B ist natürlich 1,12 
Die 1 sind 100% und 0,12 entspricht 12 Prozent. Ist doch logisch. Bei 0,12 würde das Vermögen jeden Monat um 88% verringert, weil die 100% verloren gehen würden. 

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