Frage von MrNiceDude, 66

Kann mir jemand bei dieser mir unlösbaren aufgabe helfen?

Bestimme die reelen Zahlen a, für die die Vektoren linear abhängig sind.

Vektor a = (1|1|a)

Vektor b = (1|a|-1)

Vektor c = (2a|2|-1)

Kann mir bitte jemand helfen, brauch das bis morgen, aber verstehe es nicht.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 14

Hallo,

schreibe die Vektoren als 3x3-Matrix und bilde die Determinante nach der Sarrus-Regel:

1 1 2a
1 a  2
a -1 -1

Nun rechnest Du 1*a*(-1)+1*2*a+2a*1*(-1)-2a*a*a-1*1*(-1)-1*2*(-1)=0

Die Determinante der Matrix muß Null ergeben, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind - sie ist nämlich das Volumen des Spats, das von diesen Vektoren aufgespannt wird. Sind sie linear abhängig, liegen sie also alle drei in der gleichen Ebene, ist das Volumen gleich Null, weil der Spat dann keine Höhe hat.

Zusammenfassen:

-a+2a-2a-2a³+1+2=0

-a-2a³+3=0

2a³+a=3

Auch ohne großes Rechnen sieht man, daß die Gleichung für a=1 stimmt, denn 2*1³+1=3

Also sind die Vektoren linear abhängig, wenn für a eine 1 eingesetzt wird.

1 ist übrigens die einzige reelle Lösung.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von MrNiceDude ,

kannst du mir das auch ohne determinante zeigen? wir hatten das noch nicht...

Kommentar von Willy1729 ,

Siehe die Antwort von ELLo

Antwort
von ELLo1997, 26

Ok nochmals ohne Determinante^^: Bilde ein Gleichungssystem, das wie folgt aussieht:

x + y + 2az = 0
x + ay + 2z = 0
ax - y - z = 0

Die Koeffizienten dieses Systems sind die Einträge deiner Vektoren. Hat dieses System als einzige Lösung den Nullvektor (x,y,z) = (0,0,0), so sind die Vektoren linear unabhängig.

Kommentar von MrNiceDude ,

und wie mache ich weiter?

Kommentar von MrNiceDude ,

sorry bin in mathe eine niete :D

Kommentar von ELLo1997 ,

Naja du musst das Gleichungssystem eben lösen für x,y und z, was ohne Gauß-Verfahren oder Cramersche Regel sicher unangenehm ist aber ist nun mal so ;-)

Kommentar von MrNiceDude ,

dann rechne ich zuerst die erste zeile - die zweite zeile?

Antwort
von ELLo1997, 26

Bilde die Determinante der von den Vektoren gebildeten Matrix und bestimme diejenigen a, für die die Determinante gleich Null ist.

Kommentar von MrNiceDude ,

was ist eine determinante?

Antwort
von gilgamesch4711, 8

  Es  gibt ähnliche Antzwoprten wie meine - allerdings mit Rechenfehkern.

   Ohne Determinante geht es nämlich gar nicht; die Lösungen sind die Wurzeln eines kubistischen Polynoms und dazu noch nicht mal alle reell. Keine Ahnung, wie man da ohne -determinante drauf kommen soll.

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