Frage von Skrillex68, 83

Kann mir jemand bei dieser Mathehausaufgabe helfen: Was ist der Schnittpunkt dieser beiden Funktionen (rechnerisch): y=f(x)=x^2+2x-2 und y=g(x)=x^1/3?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

f(x) = x² + 2x - 2

g(x) = x^(1/3) = ³√x

Du musst die Funktionen gleichsetzen, um den Schnittpunkt zu erhalten.

Wichtig ist hierbei folgende binomische Formel:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Also:

x² + 2x - 2 = ³√x          |³

(x² + 2x - 2)³ = x

[das Ausmultiplizieren erspar' ich dir, das kannst du, wenn du willst, selbst auf einem Blatt machen ^^]

x⁶ + 6x⁵ + 6x⁴ - 16x³ - 12x² + 23x - 8 = 0

Derartige Gleichungen sollten numerisch gelöst werden, beispielsweise über das Newton-Verfahren:

x₁ = -2,2964

x₂ = 1

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von Skrillex68 ,

Schonmal Danke schön, aber in meiner Zeichnung liegt der Schnittpunkt der beiden Funktionen bei 1 und 1. Ist meine Zeichnung jetzt falsch oder welchen Fehler habe ich gemacht?

Kommentar von Willibergi ,

Unter anderen schneiden sich die beiden Funktionsgraphen bei (1 | 1), das ist schon richtig. ;)

Ein zweiter Schnittpunkt existiert bei x = -2,2964. ^^

LG Willibergi

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

Da x^⅓ = ³√x ist, kommt man hier am schnellsten zum Ziel, wenn man auf beiden Seiten die dritte Potenz nimmt.

(x² + 2x - 2)³                                  = x

x⁶ + 6x⁵ +6x⁴ - 16x³ - 12x² + 24x - 8 = x       | -x
x⁶ + 6x⁵ +6x⁴ - 16x³ - 12x² + 23x - 8 = 0

Überschlägig sieht man sofort, dass für x = 1 die Bedingung erfüllt ist.
Dort haben wir also einen Schnittpunkt. Nun gilt es, bei Wurzelgleichungen immer vorsichtig zu sein. Da aber ³√1  auch wieder 1 ist, ist es schnell an der Originalgleichung zu verifizieren.

Aus gleicher Erwägung ist auch y = 1, mithin
der Schnittpunkt S (1|1).

Das Ganze ist nur so, weil der Aufgabenersteller eine nicht so richtig komplizierte Aufgabe geben wollte.

Anmerkung für einige, die schon wieder den Griffel spitzen:
Ich beschränke mich auf den Teil von ³√x, der im 1. Quadranten liegt.

In der Aufgabe steht: der Schnittpunkt; und ich habe ja einen.
   
Antwort
von JuanZena, 24

x^2+2x-2=x^1/3
x^2-x^1/3+2x-2=0
x^2-x/3+2x-2=0
x(x-1/3+2)=0
x-1/3+2=0
x=1.66

Wobei y=2.5 auch naheliegend ist.

Kommentar von Willibergi ,

Er meint x^(1/3) nicht (x^1)/3.

LG Willibergi

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