Frage von Marcelman3007, 89

Kann mir jemand bei dieser Matheaufgabe helfen (Keine Hausaufgabe, morgen Prüfung=?

Hallo, schreibe morgen eine Matheprüfung über Exponential- und Logarithmusfunktionen

nun stehe ich vor folgender Aufgabe und kann sie nicht lösen:

3 * 5^x = 4^(2x) ^ bedeutet nachfolgendes ist im Exponenten

Kann das bitte jemand für mich nach x auflösen? Hänge schon 45min dran und schaff es einfach nicht :(

Danke und LG

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 40

3*5^x=4^(2x) | log

Regel: log(a*b)=log(a)+log(b)

Regel: log(a^x)=x*log(a)

Regeln angewandt:

log(3)+x*log(5)=2x*log(4)  | :log(4)

log(3)/log(4)+x*log(5)/log(4)=2x 

0.79248125+1.16096405x=2x | -1.16096405x

0.79248125=0.83903595x | :0.83903595

x=0.944514058

Kommentar von Marcelman3007 ,

Danke, ich versteh jetzt mehr als vorher :D aber kannst du das eventuell so machen, dass es bis zum "finalen" x= Lösung nur Logarithmen gibt? In der Prüfung morgen müssen wir es so machen, hab es gerade probiert und es klappt bei mir nicht :( :D

Kommentar von MeRoXas ,

Wird eklig, da hast du Doppelbrüche etc. und das lässt sich hier mit dem Texteditor nur schwierig darstellen.

Kommentar von Marcelman3007 ,

Passt schon danke :) Der User unter dir hats schon gemacht :) Aber trz Danke ! :)

Kommentar von MeRoXas ,

Ich hab mich auch nochmal dran versucht und komme auf das selbe Ergebnis. Da ich eine Logarithmusregel nicht genutzt habe, ist das etwas umständlicher, funktioniert aber dennoch.

3 * 5^x = 4^(2x) | log

log(3)+x*log(5)=2x*log(4) | -log

x*log(5)=2x*log(4)-log(3) | -2x*log(4)

x*log(5)-2x*log(4)=-log(3) | x ausklammern

x*(log(5)-2*log(4))=-log(3)

Regel: log(a)-log(b)=log(a/b), dann wird log(5)-2*log(4) unter der zusätzliche Beachtung der Regel log(a^x)=x*log a zu [(log(5/4²)], also log(5/16), und wir haben

x*(log(5)/log(16)=-log(3) | :log(5)/log(16)

x=-log(3)/log(5/16)

bzw.

x=-log(3)/[log(5)-log(16)]

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

Ich verstehe nicht, dass es durchgehend mit Logarithmen gemacht werden soll. Das gibt doch ein Chaos. Wenn man es mit Exponenten durchrechnet und schlussendlich logarithmiert, ist es doch die Wahrscheinlichkeit für ein richtiges Ergebnis viel größer. Bist du sicher, dass ihr es nicht so rechnen sollt, wie es am schnellsten geht?

3 * 5^x = 4^(2x)          | 5. Potenzgesetz
3 * 5^x = (4²)^x   
3 * 5^x = 16^x             | /5^x
     3    =  16^x / 5^x    | 4. Potenzgesetz
     3    = (16/5)^x        | Umformung Potenz nach Logarithmus
     3    =  3,2^x

x ist der Exponent, den ich zur Basis 3,2 brauche, um 3 zu bilden:

x   = log 3,2 (3)            Logarithmus von 3 zur Basis 3,2
x   = 0,944514...

Entweder kann dein Taschenrechner das, sonst: ln 3/ln 3,2

Antwort
von fjf100, 5

logarithmiert ergibt lg(3*5^x)= lg(4^b) mit b=2*x

ergibt lg(3) + lg(5^x)= lg(4^b)  aus den Mathe-Formelbuch 

log(a^x)=x *log(a)

also lg(3) + x *lg(5) =  b * lg(4)= 2 *x * lg(4) dividiert durch x

1/x * lg(3) + lg(5) = 2 * lg(4) ergibt 1/x= 2 * lg(4) - lg(5) ) / lg(3)

also ist x= lg(3) / (2 * lg(4) -lg(5)) = 0,9445..

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

4^(2x) = 16^x

also

3 • 5^x = 16^x

lg3 + xlg5 = xlg16

x(lg5-lg16) = -lg3

x = -lg3 / (lg5-lg16)

x= 0,9445

Kommentar von MeRoXas ,

Wie kommst du auf 16^x am Anfang?

Kommentar von MeRoXas ,

Ah, habs schon raus, ganz die Regel vergessen.

Kommentar von Marcelman3007 ,

Ich glaube ich kann das beantworten: Potenzgesetz.

4^2x = (4^2)^x => 16^x

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