Frage von Niheaa, 35

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe zur relativistischen Masse helfen?

Ein Teilchen der Ruhemasse m0 bewegt sich mit v =0,8c und stößt zentral auf ein ruhendes Teilchen (der Ruhemasse m0). Hierbei entsteht ein neues (angeregtes) Teilchen der Ruhemasse M0. Bestimmen sie die Ruhemasse M0 dieses Teilchen in Vielfachen von m0.

Kann mir jemand helfen. Meines Erachtens verändert sich die Ruhemasse nicht. Daher würde ich sagen 2m0, aber in den Lösungen steht was anderes. Kann mir das jemand erklären mit Rechenweg???

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 27

Die sogenannte relativistische Masse oder auch Impulsmasse setzt sich aus der (Lorentz-invarianten) eigenen Masse m bzw. mࠠ des Körpers /Teilchens und der Trägheit seiner kinetischen Energie

(γ – 1)mࠠc² mit

γ := 1/√{1 – β²} := 1/√{1 – (v/c)²}
(bei v=0,8c also 4/3) zusammen. Energie »wiegt was«.

Diese Energie geht beim unelastischen Stoß teilweise in Anregungsenergie des neuen Teilchens über und trägt zu seiner Masse bei.

Deshalb hat es mehr Masse, als man ohne die Berücksichtigung der »Energie-Masse« nach Einsteins berühmter Formel E=mc² erwarten würde.

Kommentar von Niheaa ,

Also welche Masse habe ich am Ende???

Kommentar von SlowPhil ,

Irgendwie muss ich mich verschrieben haben, es sollte m₀ heißen.

Kommentar von SlowPhil ,

Also welche Masse habe ich am Ende???

Dazu sollte hier eigentlich ein Kommentar stehen, der jetzt aus Versehen aber eine Antwort ist.

Kommentar von SlowPhil ,

Übrigens ist γ=5/3, nicht 4/3. Sorry. Wundere mich aber, wieso das nicht schon Anderen vor mir aufgefallen ist:

v/c = β = 4/5 ⇒ β² = 16/25 ⇒ 1–β² = 9/25 ⇒ 1/γ = 3/5 ⇒ γ = 5/3

Antwort
von Reggid, 22

irgendwie ist die frage nicht klar.

ich sehe nicht inwiefern eine "anregung" irgendwie relevant sein sollte.

was passiert mit den anderen beiden teilchen? ist der prozess 1+2 --> 1+2+3 (also es entsteht zusaetzlich das neue teilchen), oder 1+2--> 3 (die beiden ersten vernichten sich und es entsteht dabei das neue teilchen)

falls ersteres, denke ich nicht dass man diese aufgabe nur mit diesen angaben loesbar ist.

falls zweiteres dann einfach fuer energie erhaltung die gleichung m(1+γ1)=M γ3, und fuer impulserhalutng m γ1 v1 = M γ2 v2.

wobei γ1=1/Wurzel[1-v1^2/c^2], und γ3=1/Wurzel[1-v3^2/c^2], v1=0.8c

das sind zwei gleichungen, mit zwei unbekannten (v3 und M), aufloesen und du erhaeltst M=4 m / Wurzel[3] und v3=c/2

Kommentar von SlowPhil ,

ich sehe nicht inwiefern eine "anregung" irgendwie relevant sein sollte.

Um zu motivieren, dass der Stoß komplett unelastisch ist und dabei ein Teilchen mit mehr Masse entsteht.

Kommentar von Reggid ,

ich sehe es trotzdem nicht.

ob dieses neue teilchen irgendwelche inneren freiheitsgrade hat die angeregt sind oder nicht, ist voellig unerheblich.

das ist so also wuerde ich in die angabe schreiben dass der prozess an einem Dienstag stattfindet.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 12

Das ergibt sich aus der Erhaltung des Viererimpulses

(1.1) |p» = (E/c; –p⃗) bzw. (E/c; –|p›)

mit dem Betrag

(1.2) √«p|p» = √{(E/c)² – ‹p|p›} = mc,

wobei mit m eine beliebige Eigenmasse gemeint ist. Dazu benennen wir γv in γ₁v₁ um (der Index »1« bedeutet »vor dem Stoß«), während γ₂v₂ nach dem Stoß ist. Also ist

(2.1) |p» = m₀((γ₁ + 1)c; γ₁v₁) = M₀(γ₂c; γ₂v₂),

wobei man M₀ sowie damit auch γ₂v₂ via (1.2) berechnen kann, vorzugsweise ausquadriert:

(2.2) «p|p»/c² = m₀²{(γ₁² + γ₁ + 1)² – γ₁²(v₁/c)²} = M₀².

Kommentar von SlowPhil ,

Sorry, das »²« um »γ₁² + γ₁ + 1« ist wieder ein Flüchtigkeitsfehler, der aus unvollständiger Umformung resultiert. Ich hatte vergessen, es wegzunehmen.

Kommentar von SlowPhil ,

(2.2) «p|p»/c² = m₀²{(γ₁ + 1)² + γ₁²β₁²} = M₀²

Mit β₁ = v₁/c.

Kommentar von SlowPhil ,

Was ist bloß mit mir los? Ich sollte echt mehr schlafen! Es ist

(2.2) «p|p»/c² = M₀² = m₀²{(γ₁ + 1)² – γ₁²(v₁/c)²}
                                = m₀²{γ₁² + 2γ₁ + 1 – γ₁²β₁²}
                                = m₀²{(γ₁² – γ₁²β₁²) + 2γ₁ + 1}     |γ₁² – γ₁²β₁² ≡ 1
                                = 2m₀²(1 + γ₁).

Da hier γ₁ = 5/3 ist, ist M₀² = (16/3)m₀², und somit ist

M₀  = (4/√3)m₀ > 2m₀

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