Frage von sabine1121, 45

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe zur Dimension von Eigenräumen helfen?

Hallo zusammen,

Ich bearbeite gerade Aufgaben aus einem Mathematik-Buch zur Prüfungsvorbereitung und stosse auf ziemlich viele Probleme. Bei dieser Aufgabe habe ich nicht mal eine Ahnung, wie ich beginnen soll, weswegen ich sehr auf Hilfe von euch hoffe. Sie lautet:

Seien A,T zwei n x n-Matrizen und T invertierbar. Die Matrix A habe den Eigenwert λ, der dazugehörig Eigenraum sei der Unterraum U ⊂ R^n. Zeigen sie, dass der λ- Eigenraum der Matrix B = TAT^1 mit TU:= {Tv | v ∈ U} übereinstimmt. Schliessen Sie daraus, dass die Dimension eines Eigenraums bei jedem Basiswechsel erhalten bleibt.

Wie schon gesagt bin ich ziemlich ratlos, wie dabei vorzugehen ist und wäre deswegen um jede Hilfe bezüglich des Lösungsweges sehr dankbar! Herzlichen Dank im Voraus!

Antwort
von eterneladam, 7

U, der λ-Eigenraum zu A ist die Menge aller Vektoren v mit Av = λv

Zu zeigen ist als erstes, dass der λ-Eigenraum von B alle Vektoren Tv umfasst, wobei v aus U ist.

Also sei v aus U, d.h. Av = λv, dann ist B(Tv) = TAT^1 Tv = TAv =Tλv = λ(Tv), also ist Tv in TU, dem λ-Eigenraum von B.

Wir müssen auch noch die umgekehrte Richtung zeigen, aber das solltest du jetzt selbst hinkriegen.

U und TU haben die gleiche Dimension, weil T invertierbar ist. Damit ist schon alles gezeigt.

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