Frage von caseysteeth, 34

Kann mir jemand bei diesem Beweis zu komplexen Zahlen helfen?

Die Aufgabe lautet:

"Zeigen Sie, dass (C, +, ·) ein Köper ist (mit der bekannten Addition + und Multiplikation · zwischen zwei komplexen Zahlen C)."

Ich blick da nicht wirklich, was ich machen muss...

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 7

Das Wort »Körper« ist hier im Sinne einer algebraischen Struktur (K,'+','·') zu verstehen. Das ist eine Menge K i, auf der zusätzlich eine oder mehrere innere Verknüpfungen definiert sind, in diesem Fall eine Addition '+' und eine Multiplikation '·'.

Für diese Verknüpfungen von Elementen a,b,c können gewisse Axiome gelten:

(1.1) a + (b + c) = (a + b) + c (Assoziativgesetz der Addition)
(1.2) a · (b · c) = (a · b) · c (Assoziativgesetz der Multiplikation)
(1.3) a + b = b + a (Kommutativgesetz der Addition)
(1.4) a · b = b · a (Kommutativgesetz der Multiplikation)
(1.5) Es gibt 0 ∈ K mit a + 0 = 0 + a = a (Nullelement)
(1.6) Es gibt 1 ∈ K mit a · 1 = 1 · a = a (Einselement)
(1.7) Zu jedem a ∈ K gibt es -a: a + (-a) = 0 (Inverses der Addition)
(1.8) Zu jedem a ∈ K\{0} gibt es a⁻¹: a · a⁻¹ = 1 (Kehrwert)
(1.9) a·(b + c) = a·b + a·c    und    (a + b)·c = a·c + b·c (Distributivgesetz)

Diese Axiome zusammen heißen Körperaxiome, und eine algebraische Struktur (K,'+','·'), für die alle gelten, heißt Körper.

Genau das musst Du speziell für die Struktur (ℂ,'+','·') beweisen, deren Elemente die Form

(2.1) z = x + i·y

haben und wo speziell

(2.2) i² = –1

gilt. Die Axiome der Addition zu zeigen ist dabei mehr oder minder trivial, abzulesen an (2.1). Die Axiome der Multiplikation und das Distributivgesetz lassen sich unter Ausnutzung von (2.2) beweisen. Beispielsweise ist

(3) (x–i·y)/(x²+y²) · (x+i·y) = (x–iy)(x+iy)/(x²+y²) = (x²+y²)/(x²+y²) = 1,

sodass (3) gleichsam das »Kochrezept« für den Kehrwert von z darstellt.

Antwort
von eddiefox, 7

Hallo,

es ist richtig, was Schilduin dir geantwortet hat.

Vor allem musst du dabei beachten, wie bei euch die komplexen Zahlen eingeführt und definiert wurden.

Manchmal wird direkt mit z = a +ib losgerechnet, mit der Regel,
dass i² = -1.

Andere definieren komplexe Zahlen als Zweitupel (a; b) reeller Zahlen, also als Elemente des ℝ², auf dem folgende Addition und eine Multiplikation
definiert wird:

(a; b) + (a'; b') := (a+a'; b+b'),
(a; b) · (a'; b') := (aa'-bb'; ab'+a'b).

Man kann dann zeigen, dass die Elemente aus ℝ² mit der so definierten
Addition und Multiplikation einen Körper bilden.

Je nach Definition musst du entweder mit z = a+ib oder mit (a; b) die
Körpereigenschaften nachweisen.

Gruss

Antwort
von Schilduin, 18

Du musst die Körperaxiome nachweisen, also dass es bezüglich + und * eine abelsche Gruppe ist, dass das distributivgesetz gilt und das 1≠0 ist. Folgt eigentlich alles aus den Eigenschaften der reellen Zahlen.

Kommentar von caseysteeth ,

Was ist eine abelsche Gruppe?

Kommentar von Schilduin ,

Eine Menge mit einer Rechenoperation. Bezüglich dieser Rechenoperation gilt das Assoziativgesetz, es gibt ein neutrales Element (für + meist mit 0 bezeichnet, für * und sonstige Operation meist mit 1), ein inverses Element (für + ist das inverse zu x "-x" , für * "x^(-1)) und es muss kommutativ sein (x+y=y+x bzw xy=yx). Die ersten 3 Eigenschaften sind die Eigenschaften einer Gruppe, durch die 4. ist sie abelsch.

Kommentar von ProfFrink ,

Die Menge aller Vektoren und das Vektorprodukt ist somit keine abelsche Gruppe? Kann man das so sagen?

Wegen a x b = -( b x a)  ?

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