Frage von RealAutism, 87

kann mir jemand bei der aufgabe hier helfen themenbereich komplexe wurzeln?

also die aufgabe lautet : Geben sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung an: z^3 = 2* (1-i)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 9

Hallo,

jetzt weiß ich, wie's geht:

Du hast die komplexe Zahl z=a+ib

und Du suchst eine zweite komplexe Zahl y=c+id, so daß gilt:

z^n=y

dann ist z die n-te Wurzel aus y.

Um diese Wurzel zu bestimmen, machst Du es zunächst so, als wolltest Du den Betrag eines Vektors bestimmen. Du nimmst y=c+id und ziehst die Wurzel aus (c²+d²), also √(c²+d²)

Aus dieser Wurzel ziehst Du nun die n-te Wurzel. Das Ergebnis entspricht dem r der Polarkoordinaten von z, der gesuchten Wurzel.

Nun bestimmst Du den Winkel, den y mit der x-Achse bildet.

Das ist der Arcustangens von d/c. So wird auch die Steigung einer Geraden berechnet. 

Wenn Du diesen Winkel (α) hast, bildest Du drei weitere Winkel, die Du für die drei Lösungen benötigst. Dafür gibt es die Formel:

φ(k)=(α+k*2π)/n, wobei k der Index der Lösung ist (0,1,2...n) und n der Grad der Wurzel bzw. die Anzahl der Lösungen.

Du hast also r und φ(k) berechnet und kannst jetzt φ(k)
bestimmen:

z(k)=r*(cos(φ(k))+i*sin(φ(k))) Die Formel mit den Winkelfunktionen ergibt sich aus der Identität e^(i*φ)=cos(φ)+i*sin(φ)

Bezogen auf Dein Beispiel z^3=2-2i bedeutet dies:

r=³√(√(2²+(-2)²))=³√(√8))=√2

α=arctan(-2/2)=arctan(-1)=-0,7854 (Bogenmaß)

φ(0)=(-0,7854+0*2π)/3=-0,2618

φ(1)=(-0,7854+1*2π)/3=1,8326

φ(2)=(-0,7854+2*2π)/3=3,927

Nun kannst Du endlich die drei Lösungen z(k) bestimmen:

z(0)=√2*(cos(-0,2618)+i*sin(-0,2618))=1,366-0,366i

z(1)=√2*(cos(1,8326)+i*sin(1,8326)=-0,366+1,366i

z(2)=√2*(cos(3,927)+i*sin(3,927))=-1-i (da ich bei 3,927 gerundet habe, zeigt der Rechner einen geringfügig abweichenden Wert an).

So lassen sich alle Wurzeln einer komplexen Zahl auf relativ einfache Art bestimmen. 

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Du suchst natürlich nicht y, sondern z. y ist ja einfach zu bestimmen, wenn man z kennt.

Kommentar von RealAutism ,

super vielen vielen dank endlich hab ichs verstanden :D

Kommentar von Willy1729 ,

Geht mir genauso. Vielen Dank für Deine Frage. So konnte ich wieder etwas dazulernen.

Kommentar von RealAutism ,

das stimmt man lernt nie aus :D hab die ergebnisse auch mit wolfram alpha überprüft passt auch alles

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Ich habe noch zwei Flüchtigkeitsfehler in meiner Antwort entdeckt.

Wenn ich den Index bei 0 beginnen lasse und n der Grad der Wurzel und die Anzahl der Lösungen ist, dann zähle ich nicht bis n, sondern nur bis n-1 hoch. Der höchste Index ist also n-1.

Dann habe ich noch geschrieben:

Du hast also r und φ(k) berechnet und kannst jetzt φ(k)

bestimmen:

Es sollte natürlich heißen:

... und kannst jetzt z(k) bestimmen.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 38

Hallo,

ich habe ein bißchen herumprobiert und -1-i als Lösung für z herausbekommen.

2*(1-i)=2-2i

(-1-i)²*(-1-i)=(1+2i-1)*(-1-i)=2i*(-1-i)=-2i+2 (denn -i*i=1)

Also ist die dritte Wurzel aus 2-2i bzw. 2*(1-i)=-1-i

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von NoTrolling ,

Willy, die n-te Wurzel einer komplexen Zahl hat immer n Lösungen.

Kommentar von Willy1729 ,

Ich habe auch nicht behauptet, daß dies die einzige Lösung ist. Immerhin ist es schon mal eine.

Kommentar von RealAutism ,

also in der Vorlesung hatten wir so Formeln, die ich leider nicht so recht verstanden hab, deine Rechnung ist da auf jeden fall schöner anzuschauen :D aber wir sollen bei so einer gleichung immer in Polarform zuerst umwandeln

Kommentar von Willy1729 ,

Habe ich schon befürchtet. Ist mir aber ehrlich gesagt auch zu kompliziert. Deshalb habe ich einfach ein wenig experimentiert, weil ich sehen wollte, ob ich auch so eine Lösung finde.

Aber NoTrolling hat ja eine umfassende Lösung gefunden.

Kommentar von RealAutism ,

kein problem trotzdem danke, dass du dir überhaupt die zeit dafür genommen hast :D

Kommentar von Willy1729 ,

Meine Lösung entspricht übrigens NoTrollings z3.

Kommentar von Willy1729 ,

Aber ich glaube, ich werde mich mal in das Thema einarbeiten (ich betreibe Mathe nur aus Spaß an der Freud). Sieht interessant aus.

Kommentar von RealAutism ,

interessant auf jeden Fall aber Spaß na ja... xD

Kommentar von RealAutism ,

hab mir gerade das video hier angeguckt ist so eine ähnliche aufgabe wie meine hier die erklärt wird:

https://www.youtube.com/watch?v=bkVNHTJakg4

Kommentar von Willy1729 ,

Werde ich mir mal ansehen. Danke für den Tipp.

Willy

Antwort
von NoTrolling, 23

So, jetzt habe ich mit |z|=sqrt(2) und phi=-pi/12+2pi*n/3 mit n € {0,1,2} die Lösungen:

z1 = sqrt(2)*[cos(-pi/12)+i*sin(-pi/12)]

z2 = sqrt(2)*[cos(7pi/12)+i*sin(7pi/12)]

z3 = sqrt(2)*[cos(15pi/12)+i*sin(15pi/12)]

Kommentar von RealAutism ,

ok kannst du vielleicht kurz deinen weg erläutern und welche formel genau du genommen hast dafür`? du hast ja zuerst auch in polarform umgewandelt oder? da kommt dann ja 2*sqrt(2) * e^i*(pi/4)  richtig?

Kommentar von RealAutism ,

sag mal taugt das video hier als erklärung ist ja so eine ähnliche aufgabe ? dann würd ich es einfach so machen wie da ?

https://www.youtube.com/watch?v=bkVNHTJakg4

Kommentar von NoTrolling ,

Ja, vielleicht auch das hier:

https://www.youtube.com/watch?v=YsdvCMSwNIE

Antwort
von NoTrolling, 37

Du kannst ja 2-2i erstmal in Polarkoordinatenform angeben mit

|z^3|=sqrt(8) und phi=-pi/4

Die 3 Lösungen der Gleichung haben jetzt als Betrag die dritte Wurzel von
|z^3| und phi= (2n/3-1/4)pi mit n € {1,2,3}

Entsprechend:

z1 = root_6(8)*[cos(5pi/12)+i*sin(5pi/12)]

z2 = root_6(8)*[cos(13pi/12)+i*sin(13pi/12)]

z3 = root_6(8)*[cos(7pi/4)+i*sin(7pi/4)]

Kommentar von NoTrolling ,

Sorry, das ist so nicht richtig, ich bin wohl mit dem Winkel durcheinander gekommen.

Kommentar von NoTrolling ,

Versuchs mal mit phi= pi/12+2pi*n/3

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