Frage von Jibos, 95

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen (abzählbare Mengen)?

Ich habe bei a) nein b) ja c) nein d) ja e) nein f) nein

danke schonmal :)

Antwort
von FuHuFu, 33

Alle in der Aufgabe angegebenen Mengen sind abzählbar.
Aber nicht alle müssen unbedingt unendlich sein.

a) Die Vereinigungsmenge einer abzählbaren Menge mit einer endlichen Menge ist abzählbar. Als Abzählung zählt man zuerst die endliche Menge und dann die abzählbare Menge.

b) Die Schnittmenge einer abzählbaren Menge mit einer endlichen Menge ist endlich. Denn die Schnittmenge kann höchstens soviele Elemente enthalten wie die endliche Menge. Endliche Mengen sind immer abzählbar.
Also nicht unendlich

c) Die Differenzmenge einer abzählbaren Menge und einer endlichen Menge ist abzählbar. Die Differenzmenge kann höchstens soviele Elemente enthaten wie die Ausgangsmenge, muss also abzählbar sein.
Ist Unendlich wenn Ausgangsmenge unendlich

d) Die Vereinigungsmenge zweier Abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar. Als Abzählung kann man eine Folge bilden, in der die Abzählungen der Ausgangsmengen abwechselnd als Folgenglieder aufgeführt sind. Also:
A1,B1,A2,B2,C1,C2,D1,D2, .... . Das ergibt eine Abzählung der Vereinigungsmenge
Ist unendlich

e) Die Schnittmenge zweier abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar. Die Schnittmenge ist immer eine Teilmenge jeder Ausgangsmenge, und enhält deshalb höchstens soviele Elemente wie jede der Ausgangsmengen. Deshalb ist die Schnittmenge abzählbar.
Die Schnittmenge kann leer, endlich oder unendlich sein.

f) Die Differenzmenge zweier abzählbarer Mengen ist wieder abzählbar.  
Die Differenzmenge kann höchstens soviele Elemente enthaten wie die Ausgangsmenge, muss also abzählbar sein.'
Die Differenzmenge kann leer, endlich oder unendlich sein.



Kommentar von Jibos ,

Danke für die ausführliche Antwort. Ich habe alles verstanden :) Das wird mir in meiner Prüfung sehr helfen ^-^

Antwort
von lks72, 31

Ja , nein, ja , ja, nein, nein

Kommentar von Jibos ,

Danke! :)

Kommentar von lks72 ,

ist auch klar, warum?

Kommentar von lks72 ,

ah, sehe gerade, FuHuFu hat alles ausführlich erklärt

Kommentar von SlowPhil ,

Die letzten »nein« stimmen nicht, wenn »nein« bedeutet, dass abzählbare Unendlichkeit ausgeschlossen ist. In diesem Fall ist »unentscheidbar« die richtige Antwort, denn von M₁ und M₂ wissen wir nur, dass sie abzählbar unendlich sind, nicht, ob sie disjunkt sind oder, wenn nicht, ihr Durchschnitt nur endlich oder ebenfalls abzählbar.

Kommentar von lks72 ,

Sind die Mengen in jedem Fall abzählbar unendlich? Dies sind Allaussagen für beliebige Mengen, und hier ist die Antwort bei e und f klar nein, dein es gibt Gegenbeispiele.

Kommentar von lks72 ,

Natürlich ist das Problem bei einer konkreten Menge mit diesen Eigenschaften unentscheidbar, darum geht es hier aber nicht. Die Frage ist ja, ob in jedem Fall... Hier ist der Allquantor , der logisch eigentlich an den Anfang gehört, an dieser Stelle untergebracht, und daher ist die Antwort nein.

Kommentar von SlowPhil ,

Stimmt auffallend. Mir ist das »in jedem Fall« entgangen.

Kommentar von lks72 ,

Was ja mal passieren kann . Würde das nicht da stehen, könnte man deinen Kommentar komplett als Antwort übernehmen.

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