Frage von ParanoidPanda, 120

Wurzeln Mathe:Kann mir jemand beantworten wie etwas endliches rauskommen kann wenn man zwei gleiche große unendlich lange Zahlen miteinander multipliziert?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 20

Man sollte nunmal nicht unbedingt mit der Dezimaldarstellung von irrationalen Zahlen rechnen. Schriftliche Multiplikation von Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen ist... nur begrenzt effektiv.

Aber ich sollte dich wohl nicht mit dieser halbherzigen Antwort abspeisen. Schauen wir uns also trotzdem die schriftliche Multiplikation an, vorerst von Zahlen mit abbrechender Dezimaldarstellung.

Bei schriftlicher Multiplikation von natürlichen Zahlen zerlegt man die Faktoren in ihre Einer-, Zehner-, Hunderterstelle (usw) und benutzt dann das Distributivgesetz. Da denkt man normalerweise gar nicht so drüber nach, aber etwa 24 * 5 berechnet man bei schriftlicher Multiplikation als:

24 * 5 = (10 * 2 + 1 * 4) * 5 = 10 *(2 * 5) + (4 * 5). 

Bei nur endlich vielen Nachkommastellen geht das genauso: Ich kann 3,14 auch schreiben als (1 * 3 + 1/10 * 1 + 1/100 * 4).

Ok, nun kommen wir zu den beliebten irrationalen Zahlen, die eben unendlich viele Nachkommastellen haben. Auch die hier so oft erwähnte Zahl √2 lässt sich gewissermaßen als eine solche Summe auffassen:

√2 = 1,414... = 1 + 1/10 * 4 + 1/100 * 1 + 1/1000 * 4 + ...

Das ist jetzt aber eine Summe mit unendlich vielen Summanden - mit so etwas zu rechnen, lernt man in der Schule gewöhnlicherweise nicht. In der Mathematik nennt man das eine Reihe. Diese Reihe hat den Wert √2, weil die Folge der Partialsummen gegen √2 konvergiert.

... Uff, das klingt kompliziert. Was ich meine ist: Wir schauen uns erst einmal nur den ersten Summanden an (1). Dann nehmen wir die Summe der ersten zwei Summanden (1 + 1/10 * 4 = 1,4). Dann die Summe der ersten 3 Summanden (1,41) und so weiter. Es ergibt sich eine Folge von Zahlen, die immer dichter an √2 herankommt. Und dieses Verhalten "die Summe kommt beliebig dicht an √2 heran" nennt man in der Mathematik Konvergenz.

Gut, jetzt schauen wir uns das Produkt √2 * √2 an. Wir stellen die Faktoren wie oben als unendliche Summen dar. Aus Erfahrung mit unserer schriftlichen Multiplikation hoffen wir auf eine Art Distributivgesetz. Tatsächlich gibt es so etwas ähnliches; es nennt sich das Cauchy-Produkt: https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel

 Nach dieser Formel muss gelten:

√2 * √2 = (1 * 1) + (1 * 1/10 * 4) + (1/10 * 4 * 1) + ...

= 1 + 0,4 + 0,4 + 0,01 + 0,4² + 0,01 + ...

Schon die Auswertung dieser ersten paar Terme ergibt 1,98. Und je mehr Terme des Cauchy-Produkts ich dazu nehme, desto näher komme ich an 2 heran. Genauer: Diese neue Reihe konvergiert gegen 2 (so ist √2 ja gerade gemacht). 

Dementsprechend ist der Wert von √2 * √2 (aufgefasst als Reihe) gleich 2, selbst wenn man die Dezimalschreibweise verwendet.

Antwort
von Spockyle, 48

Du meinst zB Wurzel 2, oder? Das ist nicht ganz einfach zu erklären, frag mal deinen Mathelehrer :) Es gibt auch Bücher zu dem Thema, zu empfehlen ist da Klinger: Vorkurs der Mathematik (das ist ein ganzes Kapitel zur Irrationalität).

Wenn dich sowas genau interessiert, studier Mathe :) Solche Leute werden gesucht wie nix ;) Aber sehr gute Frage!! DH

Kommentar von ParanoidPanda ,

Mein Nachbar war Mathelehrer auf einem Gymnasium ich hab ihn gestern gefragt seine erste Antwort war es ist einfach so und dann hat er gesagt das besprechen wir noch  

Kommentar von Spockyle ,

Dann muss er selber nochmal nachgucken. Wie gesagt, das ist nicht ganz einfach. Aus dem Stehgreif wüsste ich auch nicht, wie ich es erklären sollte. Vielleicht ist er auch überfragt, auch Gym-Mathe-Studis lernen nicht alles, was Mathe so hergibt.

Aber die Frage ist wirklich gut, sehr reflektiert und beweist bei dir ein tieferes Verständnis für Mathe :) Lass dich nicht mit "Das ist halt so" abwimmeln. (Das wollte ich nur sagen)

Kommentar von lks72 ,

Was redet ihr denn da für ein Zeugs? Der Beweis der Irrationalität von √2 ist mathematisches Standardwissen und kinderleicht (es gibt ihn in unzähligen Varianten). Wenn man momentan vielleicht nicht direkt sagen kann, wie er gemacht wird, dann ist das ja kein Problem, aber mit Sicherheit kein Beweise dafür, dass der Beweis an sich schwierig ist, das ist er nämlich nicht.

Kommentar von Spockyle ,

Geht ja nicht nur um die Irrationalität von Wurzel 2. Ich finde die Frage nicht schlecht, mir kam die Frage nie, warum zwei irrationale Zahlen was rationales geben können. Dass Wurzel 2 irrantional ist, hab ich auch schon bewiesen, aber wie ichs erklären könnt, ohne jetzt gleich Körpertheorie und so auszupacken, weiß ich halt nicht. Dass es den Beweis nicht gibt oder er schwer ist, habe ich nicht gesagt, wenn es so rüber kam, tut es mir leid.

Mag auch sein, dass ich grad mega auf dem Schlauch steh. Ich mein es auf jeden Fall nicht bös :)

Antwort
von ELLo1997, 56

Was meinst du denn genau? Ich vermute, du meinst wenn man √2 · √2 also 1,415... * 1,415... rechnet, dass dann 2 herauskommt.
Du solltest vielleicht wissen, dass es mehr als nur eine Möglichkeit gibt, Zahlen darzustellen. Zum Beispiel kannst du die Zahl 1/2 auch als Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen schreiben: 0,500000000...
Und wenn man diese zwei Zahlen multipliziert, kommt auch ewtas endliches raus, je nach Schreibweise.
Lg

Kommentar von ParanoidPanda ,

Ja schon klar aber sie haben ja keinen unendlichen Wert wegen den Nullen aber es kann doh keine zwei rauskommen wenn man eine unendlich lange Zahl mit sich selbst multipliziert das ist doch Schwachsinn ? Ich mein wie kamen die darauf ? Sie können dich nicht sagen die Zahl ist unendlich lang (irrational) wenn sie es nicht mal wissen weil sie ja "unendlich" lang ist 

Kommentar von lks72 ,

"Sie können" ... Wer ist "Sie"? Der Beweis, dass √(2) eine unendliche Anzahl von Nachkommastellen hat, ist uralt und gehört nicht zum mathematischen Geheimwissen. Jeder Schüler, der die 9. Klasse überlebt hat, kann ihn nachvollziehen.

Kommentar von PWolff ,

Nehmen wir ein einfacheres Beispiel:

Die Dezimaldarstellung von 1/3 (0,333333...) hat auch unendlich viele Nachkommastellen.

Das dreifache davon ist als Bruch 3/3 = 1, als Dezimalzahl 0,999999....

Ob und wieso 0,99999... = 1 ist oder nicht, ist schon oft genug hier diskutiert worden.

Der nächste Zwischenschritt in Dezimaldarstellung wäre so was wie 3/7 * 7/3.

Kommentar von ELLo1997 ,

Doch, in Wahrheit kann man genau das beweisen. Nämlich, dass √2 nicht als Bruch ganzer Zahlen dargestellt werden kann.

Kommentar von ParanoidPanda ,

Ja weil sie unendlich viele Nachkommastellen hat und genau das ist es ja diese Nachkommastellen diese Unendlichkeit ist so undefiniert und dieses Wurzelzeichen ist nur dafüer da dass man diese unendlich lange Zahl schreiben kann 

Kommentar von ParanoidPanda ,

Addieren kann man ja eig. Ich mein 1,4... + 1= 2,4... aber wie will man das dann schreiben ? 

Kommentar von ELLo1997 ,

Zu sagen, dass die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat ist noch längst kein Beweis dafür, dass die Zahl irrational ist. ;-) In Wahrheit zeigt man zuerst formal , dass die Zahl irrational ist und daraus kann man dann Aussagen über die Nachkommastellen treffen, aber nicht umgekehrt.

Antwort
von Waldemar2, 27

Unendlich lange Zahlen kann man nicht so multiplizieren wie endlich lange, für die man das Verfahren der schriftlichen Multiplikation hat. Gleichwohl sind ihre Produkte wohldefiniert.

Antwort
von Restriction, 46

Kann es nicht, und nebenbei jede unendlich große Zahl ist gleich groß. Also
∞ = ∞ - 100 = ∞ + 22 und wenn man ∞ mit ∞ multipliziert kommt auch wieder
∞ raus.

Kommentar von ParanoidPanda ,

Ja aber in der mathematik heist es unendlich × unendlich = rationale Zahl (=endliche Zahl 2, 3, -8 und so weiter)

Kommentar von Restriction ,

Meinst du etwa dividieren? Mir wäre es neu, dass wenn sich 2 Zahlen multiplizieren etwas kleineres herauskommt. (Ausnahmen Zahlen unter 1)

Kommentar von kloogshizer ,

Der Vollständigkeit würde ich vielleicht noch erwähnen das es verschiedene Unendlichkeiten gibt. So gibt es zum Beispiel weniger natürliche Zahlen als irrationale Zahlen. Diese sind nicht "abzählbar", und damit handelt es sich damit um eine andere Art von Unendlichkeit. Georg Cantor hat das herausgefunden.

Es gibt sogar unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten.

Kommentar von Restriction ,

Eine Zahl die nicht unendlich viele Stellen hat aber die man nicht abzählen kann? Wieso sollte diese Zahl irrational sein?

Kommentar von Schachpapa ,

Jede endliche Menge ist abzählbar, dauert bei großen Mengen vielleicht etwas länger als ein Mensch lebt, aber dann muss man halt schneller zählen ;-)

Abzählbar bedeutet, dass man die Zahlen nummerieren kann (also eine Abbildung von N auf diese Zahlen). Aufzählbar trifft's vielleicht besser.

Antwort
von kloogshizer, 65

Wenn die Zahl unendlich lang ist, ist sie auch unendlich groß. Es gibt zwar verschiedene Unendlichkeiten, aber soweit ich weiß bleibt man bei so einer Multiplikation dann im Unendlichen. Was sind das denn für unendlich lange Zahlen?

Kommentar von Suboptimierer ,

Dem Tag "Wurzel" nach ist davon auszugehen, dass irrationale Zahlen gemeint sind.

Kommentar von kloogshizer ,

Dann handelt es sich vielleicht nur um unendlich viele Nachkommastellen... Das macht die Zahl aber nicht "unendlich lang", sondern nur die Darstellung der Zahl ist problematisch. Wurzel(2) ist irrational, aber trotzdem ist diese Zahl größer als 1,4 und kleiner als 1,5, also weiß man auch nur mit dieser Information, in welchem Bereich sich die Lösung einer Multiplikation mit dieser Zahl befidnet.

Kommentar von ParanoidPanda ,

Na unendllich Nachkommastellen 

Kommentar von kloogshizer ,

ach du meinst, warum wurzel(2) Multipliziert mit wurzel(2) einfach zwei ergibt, also plötzlich die unendlichen Nachkommastellen weg sind?

Wenn du willst, kannst du ja ,0000000000... Hinter jede Zahl schreiben. Ich verstehe nicht genau warum das ein Problem darstellen sollte

Kommentar von ParanoidPanda ,

Ja die Zahlen mit unendlich Nullen sind die rationalen Zahlen und die Nullen kann man weglassen da sie den Wert nicht verändern ich rede über die irrationalen Zahlen (Wurzel2)und die kann ja nicht zwischen 1,4 und 1,5 liegen da sie zwar mit 1,4... anfängt aber sie ist ja unendlich lang also die Nachkommastellen... 

Kommentar von kloogshizer ,

Aber die Beiträge der Nachkommastellen werden auch immer kleiner, d.h. mit jeder Nachkommastelle wächst die Zahl weniger, sie wird nicht über ein bestimmtes Maß hinaus anwachsen. 

Ein bisschen so ist das wenn man 1/2+1/4+1/8+1/16... ausrechnet. Das ist eine unendliche Summe, aber das Ergebnis ist einfach eins. Wenn man sich das aufmalt sieht man das auch, die Strecke halbiert sich immer, und scheinbar wird die Eins nie erreicht. Mit unendlich viellen Summanden, kann es aber vervollständigt werden.

Im übrigen gehört die 2,0 auch zu den irrationalen Zahlen... Sie ist nur besonders, da sie sich auch als rationale und natürliche Zahl darstellen lässt. 

Kommentar von Melvissimo ,

Dem letzten Abschnitt muss ich vehement widersprechen. Du hast richtig erkannt, dass 2 eine rationale Zahl ist. Aber eine Zahl x heißt genau dann irrational, wenn sie reell und nicht rational ist. Also kann 2 nicht irrational sein.

Was du vermutlich meintest ist, dass 2 auch zu den reellen Zahlen gehört.

Kommentar von kloogshizer ,

Ja, du hast recht, hatte die Begriffe verwechselt

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