Frage von CMVQE, 34

Kann mir hier noch jemand helfen, habe schon viele Möglichkeiten probiert, der Exponent muss eine nat. Zahl sein. -81; -27; -8; -1; 0; 1; 8; 27?

Antwort
von rr1957, 9

mit Exponenten-Schreibweise hast Du:

     -(3^4), (-3)^3, (-2)^3, (-1)^3, 0^3, 1^3, 2^3, 3^3

Also wenn - wie auch Rhenane meint - hier eine "-64" stünde statt der "-81", was (-4)^3 wäre, dann wär's klar: das sind "ganze Zahlen hoch 3"


Ansonsten kannst Du natürlich immer die mathematische Regel anwenden, wonach die einfachste Interpolation durch n gegebene Punkte immer ein Polynom (n-1)-ten Grades ist ( 2 Punkte bestimmen eine Linie, 3 Punkte eine Parabel, 4 ein Polynom 3 Grades usw. )

Hier hast Du 8 gegebene Werte, brauchst also ein Polynom 7. Grades:

f(x) = a*x^7 + b*x^6 + c*x^5 + d*x^4 + e*x^3 + f*x^2 + g*x +h

dann weisst Du f(1) = -81, f(2) = -27, f(3) = -8 ...

Wenn Du nun die 8 "Stützstellen" in das Polynom einsetzt, bekommst Du 8 lineare Gleichungen für die 8 unbekannten Parameter, die Du damit dann ausrechnen kannst. Ist nicht soooo schwer, nur mühsam.

Das ist eine allgemeine Methode die immer funktioniert. Wenn statt der -81 da -64 stände und man mit der Zählung der Stützwerte mit -4 anfängt statt mit 1 (was man jederzeit kann wenn man möchte), dann käme bei dieser allgemeinen Methode raus, dass e = 1 ist und alle anderen Parameter = 0, also f(x) = x^3.

Mit der -81 als erstes kann man das genauso ausrechnen, nur wird hier wohl ein Polynom 7. Grades mit "krummen" Parametern rauskommen und nicht so was mit einer 1 und sonst lauter 0, das man erraten kann.


Kommentar von rr1957 ,

falls das jemand wirklich ausrechnen will:  man würde "als Trick" hier tatsächlich die Numerierung der Stützstellen mit -3 oder -4 beginnen, damit man das x^7 nur mit möglichst kleinen Zahlen ausrechnen muss; besonders für -1, 0 und 1 ist das Potenzieren ja sehr einfach, darum würde man diese Werte als Stützstellen haben wollen ...

Kommentar von rr1957 ,

so, war jetzt in Fitness, und der zusätzliche Sauerstoff bewirkt, dass mir nun klar wird dass man das schon im Kopf ausrechnen kann:

wir wissen ja schon, dass die Werte "fast" mit x^3 übereinstimmen!

wir setzen also unser gesuchtes  f(x) =  x^3 + g(x)

mit einer neuen Funktion g(x) die für -4, -3, -2, ...+3 die Werte -17, 0, 0, 0, ... 0.

g(x) ist also wieder ein Polynom 7. Grades, und wir kennen 8 Werte davon, und davon sind 7 Nullstellen - aber wenn man alle Nullstellen ( ein Polynom n. Grades hat "normalerweise" genau n Nullstellen) kennt, kann man es ja gleich hinschreiben:

g(x) = a * (x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3) und man muss nur noch a so ausrechnen, dass g(-4) = -17 wird.

g(-4) = a * (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)(-6)(-7) = a * (-5040), also a = 17/5040

Das Polynom  x^3 + 17/5040*(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)

hat also genau die gefragten Werte für x = -4, -3, -2, ... 3

War also gar nicht schwer ...   ;-)

Antwort
von Schachpapa, 14

Sucht du den ganzzahligen Exponenten n bei f(x) = x^n

Bist du sicher, dass du schon *viele* Möglichkeiten probiert hast?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 14

Sicher, dass links -81 steht und nicht etwa -64?

Antwort
von beangato, 14

Das ist + 81.

Antwort
von Rubezahl2000, 22

Was genau ist jetzt die Frage?

Antwort
von Oubyi, 26

Was hindert Dich daran?

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