Frage von Lara45566, 30

Kann mir einer einen Ansatz geben?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 30

Bringe zuerst die linke Seite auf einen Hauptnenner; dann Bruch auflösen und alles auf eine Seite...

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe, 22

Es ist | a/b + b/a | = | a²/(ab) + b²/(ab) | =

| ( a² - 2ab + b² ) / (ab) + ( 2ab ) / (ab) | =

| (a-b)² / (ab) + 2 | = (a-b)² / (ab) + 2 >= 2, falls a,b > 0 oder a,b < 0.

Betrachte nun den Fall a>0,b<0 oder a<0,b>0:

Dann gilt ab<0, also -ab>0 und | a/b + b/a | = -(a/b + b/a) =

-a/b - b/a = (a²+b²) / (-ab) = (a²+2ab+b²-2ab) / (-ab) =

(a+b)² / (-ab) - (2ab) / (-ab) = (a+b)² / (-ab) + 2 >= 2.

.............

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Kommentar von Lara45566 ,

Bei deinem Ansatz verstehe ich nicht, wie du auf die 2. Zeile gekommen bist.

Kommentar von everysingleday1 ,

Binomische Formeln.

a²+b² = a²-2ab+b²+2ab = (a-b)²+2ab

Es wurde ergänzt, sodass man eine quadratische Klammer bilden kann, denn diese ist mindestens 0, also nie negativ.

Kommentar von Rhenane ,

ich hätte diesen Lösungsweg (ohne Fallunterscheidung);
|a/b+b/a|>=2
|a²+b²/ab|>=2     | *|ab|
|a²+b²|>=2*|ab|   | -2|ab|
|a²-2ab+b²|>=0
(a-b)²>=0      gilt für alle a,b<>0

Kommentar von everysingleday1 ,

|a²+b²| -2|ab| = |a²-2ab+b²| ist nicht zulässig, da diese Identität nicht allgemein gilt.

Beispiel: a = 1, b = -1:

0 = |1²+(-1)²| -2|1 * (-1)|,

|1²-2 * 1 * (-1)+(-1)²| =4.

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