Kann mir einer das ,,Lemma von Zorn,, einfach erklären?

... komplette Frage anzeigen

1 Antwort

Was verstehst du denn daran nicht? Deine Frage ist sehr schlecht gestellt, da man sich mit dem Lemma von Zorn monatelang beschäftigen könnte.

Verstehst du die Aussage generell? Verstehst du, warum es äquivalent zum Auswahlaxiom ist? Hast du Schwierigkeiten zu sehen, wo man es anwenden kann? Ich werde dir zu allen diesen Punkten ein paar Sätze geben.

Die Aussage generell. Wir haben eine Menge X und sagen, dass sie halbgeordnet ist. Das bedeutet wir haben eine Relation ≲, die transitiv, antisymmetrisch und reflexiv ist. Der Unterschied zu einer totalen Ordnung ist, dass für x und x' nicht unbedingt x ≲ x' bzw x' ≲ x gelten muss, zwei Elemente können also "nicht vergleichbar miteinander" sein.

Jetzt haben wir eine Teilmenge von X, die nennen wir Y und wir sagen, dass Y eine Kette ist, wenn sie total geordnet ist, wenn also immer y ≲ y' oder y' ≲ y gelten muss. Zusätzlich fordern wir, dass jede Kette von X nach oben beschränkt ist, also wir haben für jede Kette Y ein x in X, sodass für alle y in Y gilt: y ≲ x.

Das Lemma besagt jetzt einfach: X besitzt ein maximals Element m.

Wir würden jetzt gerne sagen, dass für alle x in X gelten muss: x ≲ m, das wäre die einfachste Definition von "maximales Element", aber wir haben ja nur eine Halbordnung, die Elemente können ja unabhängig sein. Daher sagen wir, dass x ≲ m nur dann gilt, wenn sie vergleichbar sind, es reicht also die Aussage m ≲ x -> x = m.

Sehr triviales Beispiel: Wir betrachten eine Menge M und die Halbordnung ⊆ auf P(M), der Menge aller Teilmengen von M.

Offensichtlich ist ⊆ eine Halbordnung, und jede Kette ist nach oben beschränkt, denn für jede Kette Y können wir U Y betrachten und sehen, dass es eine obere Schranke für Y ist.

Also muss P(M) ein maximales Element haben, und offensichtlich ist M das maximale Element, denn alle p in P(M) sind Teilmengen von M und es gilt also p ⊆ M und wenn M ⊆ p, dann p = M.

Warum ist es äquivalent zum Auswahlaxiom? Der Beweis würde nicht in diese Antwort passen, aber der Wikipediaartikel zum Lemma von Zorn hat beide Beweisrichtungen, sie sind wirklich einfach und sind auch für Erstsemesterstudenten verständlich.

Wo kann man es anwenden?

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis, der Beweis ist sehr schön! Du hast einen Vektorraum und definierst M als die Menge aller linear-unabhängigen Mengen aus V, du rechnest alle geforderten Eigenschaften nach und bekommst aus Zorns Lemma ein maximales Element aus M, das ist dann eine maximale linear-unabhängige Menge, also eine Basis.

Kleine Übung: "Jeder nichttriviale unitäre Ring besitzt ein maximales Ideal". Was ist die Halbordnung, und wie zeigst du, dass alle Ketten beschränkt sind?

Hast du jetzt einen kleinen Überblick über die Schönheit dieses Satzes bekommen? Wenn du irgendwo Schwierigkeiten hast, nicht scheuen zu fragen, aber beschreibe bitte genau, was du von einer Antwort erwartest.

LG

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?