Frage von PMBDE, 53

Kann mir einer bei derLösung der Funktionenschar fk(x)=1/(x*(k-lnx)^2) helfen?

Hallo,

k aus dem Element reeller Zahlen und maximaler definitionsmenge Dk.Nun soll ich begründen,dass Dk= R+ /(e^k) ist.Außerdem muss ich die erste Ableitung bestimmen. Jeder Graph Gk hat eine Tangente tk,die durch den Ursprung geht.Diese Tangente muss ich ebenfalls bestimmen.Ich habe bei keiner dieser Aufgaben eine Ahnung,wie ich es lösen soll.Ich brauche also dringend Hilfe.

Danke im Voraus;)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 25

Definitionslücken sind dort, wo der Nenner 0 werden würde, d. h. Du musst den Nenner Null setzen und nach x auflösen.
Wegen ln x gilt schon einmal, dass x>0 sein muß.
Damit der Nenner Null wird, muß k-ln x Null werden.
k-ln x=0  |+ln x
k=ln x     |e^...
e^k=e^(ln x)=x, also für x=e^k wird der Nenner Null, somit ist dort eine Definitionslücke.

fk'(x) kannst Du mit der Produktregel lösen, indem Du schreibst:
fk(x)=x^-1 * (k-ln x)^-2

Kommentar von Rhenane ,

mit Hilfe des Denkanstoßes von poseidon42 habe ich interessehalber mal die Tangente ausgerechnet:
tk(x)=x/e^(2k-2) [habe ich mir mit einem Plotter zeichnerisch bestätigen lassen...]

Antwort
von januarbisjuli, 20

Also der Definitionsbereich wird dadurch eingeschränkt, dass der Ausdruck unter dem Bruchstrich nicht Null werden darf. Da man ja bekanntlich nicht durch Null teilen kann. D.h. x*(k-lnx)^2 darf nicht Null werden. Es wird aber Null sobald x=0 oder k=lnx ist. Letzteres kann man umschreiben zu x=e^k (Logarithmusgesetze). Daraus folgt also, dass der Wertebereich alle reellen Zahlen mit den Ausnahmen x ungleich 0 und x ungleich e^k enthält.

Antwort
von poseidon42, 22

Also was muss denn erstmal gelten:

Offensichtlich ja:

x*(k - ln(x))^2 = 0    Für welche x(k), der Ausdruck da unten Null wird

k - ln(x) = 0 

k   =  ln(x)   II e^x

e^k  = x   

Also lautet der Definitionsbereich der Funktion D(k) = R+ \ {e^k}

Da ln(x) für x<0 nicht definiert ist ---> x Element aus R+

Und dann halt noch ohne das Element wofür die Gleichung nicht definiert ist, also der Fall 1/0 eintritt.

Die 1. Ableitung:

f(x) = 1/(x*(k - ln(x))^2) = x^(-1) * (k - ln(x))^(-2)

Produktregel:

f´(x) = u´*v + v´*u 

mit   u = x^-1     v = (k - ln(x))^(-2)     

u´ = -1*x^(-2)   

v´ = (-2)*(-1/x)*(k - ln(x))^(-3)   II Hier wurde die Kettenregel angewandt 

Außerdem sollte bekannt sein:   d(ln(x))/dx = 1/x 

Für die Tangente gilt:

g(x) = m*x + n    m = Steigung   n = Y-Achsenschnittpunkt

Es folgt für einen Punkt P auf f(x):  P = ( x | f(x) )

In diesem Punkt hat der Graph die Steigung:  m = f´(x)

Soll diese lineare Funktion, die Tangente an den Graphen, noch durch den Ursprung ( 0 | 0) gehen, dann folgt  n = 0.  Einsetzen liefert :

f(x) = x*f´(x)   für den Schnittpunkt mit P. 

Also: f(x) - x*(f´(x)) = 0 

Nach x auflösen und anschließend in f´(x) einsetzen, damit erhälst du die Steigung der Tangenten, sowie den Punkt in welchem sie den Graphen der Funktion f(x) berührt.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

x darf nicht negativ sein, weil ln x

Nenner darf nicht 0 sein, also x ungleich 0

und k-ln x ungleich 0 ; also k ungleich ln x ; also x ungleich e^k

----------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Ableitung von f mit Produkt und Kettenregel bilden von

x^-1 • (k - ln x)^-2

dann = 0

ich habe x = e^(k-2) raus; (ohne Gewähr)

also Tangente durch Ursprung

y= e^(k-2) • x

Kommentar von PMBDE ,

Ok Dankeschön.Kann ich die Ableitung auch mit der Quotientenregel bilden?

Kommentar von Ellejolka ,

kannst du auch machen.

Kommentar von PMBDE ,

Ok danke

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