Frage von MrsRonaldo987, 94

Kann mir ein Mathematiker helfen?

Wir haben ein neues Thema in Mathe und zwar Potenzen (10.klasse) und ich weiß nicht wie ich diese Aufgaben lösen soll :/ 700 hoch 12 ist zu viel meinte meine Mathe Lehrerin :/

Antwort
von poseidon42, 41

Was wissen wir den:

Keime bei t=0 : = 700

Keime bei t=0,5h :   =2*g(t-0.5h)

Damit berechnest du die Keime zu einem Zeitpunkt t(1) mit:

g(t(1)) = 2*(g(t(1)-0.5h))   

Ist t(1) - 0.5h  ungleich 0, so folgt für g(t(1) - 0.5h):

g(t(1) - 0.5h) = 2*g(t(1) - 0.5h - 0.5h) = 2*g(t(1) - 1h) 

Einsetzen in die vorherige Formel liefert damit:

g(t(1)) = 2*(g(t(1)-0.5h))   II g(t(1)-0.5h) = 2*g(t(1) - 1h)

g(t(1)) = 2*(2*(g(t(1) - 1h))

Dies lässt sich so lange fortführen bis du da stehen hast: g(t(1) - t(1)) = g(0)

Also die Anzahl der Keime zu Beginn der Beobachtung. Hier kannst du dann aufhören zu zerlegen, da es einer unserer bestimmten und bekannten Werte ist. 

Also wie oft hast du jetzt die 2* da stehen? So oft wie du 0.5h von t abziehen konntest. Wie oft kann man nun 0.5h von t abziehen? Genau t/0.5 = 2*t  mal ! 

Also kannst du schreiben:

g(t(1)) = g(0)*2^(t(1)*2) 

Bzw. damit lautet die Formel zur Berechnung der Keime zu einem beliebigem Zeitpunkt t:

g(t) = g(0)*2^(2*t) 

Hier mit g(0) = 700 Keime.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 8

y = f(t) = A * e ^ (ln(1 + p / 100) / v * t)

Eine Verdoppelung entspricht einem Zuwachs von 100 %, deshalb ist p = 100

A = Menge am Anfang, deshalb ist A = 700

V = Verstrichene Zeit für eine Verdoppelung in Minuten

Man erhält dann -->

y = f(t) = 700 * e ^ (ln(1 + 100 / 100) / 30 * t)

und somit -->

y = f(t) = 700 * e ^ (ln(2) / 30 * t)

Erklärung -->

t = Zeit in Minuten

---------------------------------------------------------------------------------------------------

a.) Anzahl der Keime nach 6 Stunden -->

6 Stunden sind 6 * 60 = 360 Minuten

f(t) = 700 * e ^ (ln(2) / 30 * t)

f(6) = 700 * e ^ (ln(2) / 30 * 360)

f(6) = 2867200

b.)

1000000000 = 700 * e ^ (ln(2) / 30 * t) | : 700

10000000 / 7 = e ^ (ln(2) / 30 * t) | ln(...)

ln(10000000 / 7) = ln(2) / 30 * t | : ln(2) / 30

Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert mal nimmt.

t = ln(10000000 / 7) * 30 / ln(2)

t = 613.384252264617969829508... Minuten

613.384252264617969829508 Minuten sind 613.384252264617969829508 / 60 = 10,223070871 Stunden

0,223070871 * 60 Minuten = 13,38425226 Minuten

0,38425226 * 60 Sekunden = 23 Sekunden

Nach 10 Stunden 13 Minuten und 23 Sekunden sind also eine Milliarde Bakterien vorhanden.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 18

Hallo,

kleine Korrektur zur Antwort von Florian

Es muß heißen: 700*2^12, denn die Verdoppelung geschieht alle halbe Stunde und sechs Stunden sind 12 halbe Stunden.

Für die andere Aufgabe mußt Du die Gleichung 700*2^n=1.000.000.000 nach n auflösen.

Zuerst teilst Du durch 700:

2^n=10.000.000/7 (ich habe durch 100 geteilt)

So etwas löst man durch Logarithmieren:

ln(2^n)=ln(10.000.000/7)

ln(2^n)=n*ln(2)

Nun teilst Du durch ln(2):

n=ln(10.000.000/7):ln(2)=20,44614174

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von 123Florian321, 47

700 * 2^6

Erklärung: Die Bakterienanzahl verdoppelt sich, es wird also der Faktor 2 genutzt.

Das mit einer Milliarden: Setzte anstatt der 6 oben ein X ein und lass das Ganze vom GTR berechnen

Liebe Grße, Florian

Kommentar von 123Florian321 ,

Bin übrigens auch 10. Klasse

Kommentar von poseidon42 ,

Das ist leider nur halb richtig, deine Rechnung ist vom Prinzip her korrekt, aber was die genauen Zahlen angeht falsch. Die Keime verdoppeln sich jede halbe Stunde, da wir hier 6 Stunden haben sie sich nach 6h also 6h/0.5h = 2*6 = 12 mal verdoppelt. Damit gilt also:

Keime(6h) = 700*2^(6h/0.5h) = 700*2^12 = 2867200

Kommentar von 123Florian321 ,

Ja sry, das mit der halben Stunde hab ich wohl überlesen :D

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 17

700 • 2^12 = ....

Antwort
von kleinefragemal, 24

zu a): 700 * 2 hoch 12 ..

denn die Anzahl *verdoppelt* sich ja jede halbe Stunde - wenn du 700 hoch 12 rechnen würdest, dann würde das heißen, dass sie sich jede halbe Stunde ver-700-fachen würde..

stattdessen ist die Rechnung: 700 * 2 ..und die nächste halbe Stunde (das Ergebnis) * 2, dann wieder * 2 .. usw - und das ganze zwölf mal .. 700 * 2 * 2 * 2... = 700 * 2hoch12

zu b):

700 * 2hochx = 1 Milliarde

einfach nach x auflösen..(ähm.. weißt du wie das geht? ich habs grad vergessen ..)

Antwort
von Mepodi, 30

Ich würde dir gerne helfen, darf ich aber leider nicht, bin kein Mathematiker

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