Frage von loveyoun, 56

Kann mir bitte jmd diese Matheaufgabe erklären?

Also wir haben eine matheaufgabe... 5a+6b+56 = ab... und wir sollen alle möglichkeiten von natürlichen Zahlenpaaren also mit natürlichen Zahlen herausfinden... bitte um hilfe

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 30

Hallo,

löse die Gleichung zunächst nach a auf:

5a+6b+56=ab

5a-ab=-6b-56

a*(5-b)=-6b-56

a=(-6b-56)/(5-b)=(6b+56)/(b-5) nach Erweiterung mit (-1)/(-1)

Nun überleg mal:

eine natürliche Zahl ist eine ganze Zahl, also keine Bruchzahl, die positiv ist.

Für b fällt also schon mal alles weg, was zwischen 1 und 5 liegt, weil der Nenner ansonsten negativ oder gleich Null wird.

Also kommen nur noch Zahlen ab 6 in Frage.

Die 6 geht auf jeden Fall, denn dann wird der Nenner 1; die 1 teilt alles.

Die 7 ist auch ok, weil 6*7+56 auf jeden Fall eine gerade Zahl ergibt und 2 jede gerade Zahl teilt.

Überhaupt kann der Zähler nur gerade sein, egal, was Du für b eingibst.

Wenn du eine 8 eingibst, hast Du im Nenner eine 3, im Zähler aber kann keine durch 3 teilbare Zahl stehen, weil 6b zwar immer durch 3 teilbar ist, aber die +56 alles zunichte macht. Jede Zahl also für b, die im Nenner eine durch 3 teilbare Zahl ergeben würde, funktioniert nicht. Das sind alle Zahlen wie 8,11,14 usw., also alle Zahlen, die herauskommen, wenn Du in 3n+8 irgendeine natürliche Zahl für n eingibst. b darf also nicht gleich 3n+8 sein.

Das Spielchen könntest Du nun bis in alle Ewigkeit weiterführen, Du kannst es Dir aber auch einfacher machen.

Du teilst einfach mal 6b+56 durch b-5 (Polynomdivision)

Da bekommst Du 6+86/(b-5) heraus.

6 ist eine natürliche Zahl. Interessant ist also nur noch der Rest:

86/(b-5), denn auch dies muß eine natürliche Zahl ergeben. Das tut es aber nur, wenn b-5 ein Teiler von 86 ist. Das ist die 1 und die 2 (hatten wir schon), die 43 und die 86.

Das bedeutet, außer 6 und 7 kann b noch 48 oder 91 sein - alles andere führt zu keinem ganzzahligen Teiler von 86 und führt damit zu keiner natürlichen Zahl als Ergebnis.

Herzliche Grüße,

Willy


Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 28

Ist zwar etwas weit hergeholt, aber durch Umformen nach a oder b erkennt man alle möglichen natürlichen Zahlen, die eingesetzt werden können:

nach b umformen:

5a+6b+56=ab                  |-6b
5a+56=ab-6b                   |b ausklammern
5a+56=(a-6)b                   |:(a-6)
b=(5a+56)/(a-6)               |das jetzt mit Hilfe der Polynomdivision aufteilen
b=5+86/(a-6)

Damit b eine ganze Zahl ist muss 86 durch einen seiner Teiler geteilt werden, also durch 1,2 oder 43.
Also muss a-6 einen dieser Teiler ergeben, d. h. a1=7; a2=8; a3=49

Lösungen: (a;b) = (7;91); (8;48); (49;7)

Jetzt noch nach a umformen und die weiteren Möglichkeiten auf die gleiche Art ermitteln...

(Geht wahrscheinlich eleganter und unkomplizierter, aber ich sehs grade nicht...)

Kommentar von Willy1729 ,

Du hast die 86 als Teiler vergessen. B=91, a=7

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Rhenane ,

Ah, logo, danke

Kommentar von Willy1729 ,

Für Schüler finde ich die Aufgabe schon recht speziell, wenn es nicht einfach nur darum ging, die Kids für eine Weile zu beschäftigen (vgl.: Der kleine Gauß und die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100).

Willy

Kommentar von Rhenane ,

Das Gleiche habe ich auch gedacht; daher auch mein Einleitungs- und Schlusssatz, weil mir der "Schwierigkeitsgrad" doch schon recht gehoben vorkam. Habe erst gedacht, ich denke in diesem Fall zu kompliziert, aber Deine Antwort mit der gleichen Vorgehensweise hat mich dann doch beruhigt :)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Schule, 18

Wenn man es tabellarisch macht, dann doch am besten b in a ausdrücken und a laufen lassen.

Mit wenig Mühe sieht man, dass b = (5x + 56) / (a - 6)
Ist und kann loslegen.
Aber nur mit einem Rechner, der Formeln begreifen kann, sonst Excel.

a = 6 muss man auslassen wegen Division durch 0.
a = 7 ergibt dann b = 91

und danach gelegentlich weitere Treffer.

Antwort
von UlrichNagel, 26

5a + 6b = ab - 56

Mach dir eine Tabelle und fang für a und b (für ab) mit Zahlen an, die größer 56 ergeben, denn es sollen ja natürliche Zahlen sein!

Kommentar von Willy1729 ,

Für Schüler kann das in Beschäftigungstherapie ausarten.

Antwort
von DanielGhost3, 27

Was sind das für aufgaben die hatten wir noch nie

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