Frage von derHackfleicher, 25

Kann mir bitte jemand bei dieser Matheaufgabe helfen? Das muss man glaube ich mit dem Logarithmus rechnen.

Indien und China sind die bevölkerungsreichsten Staaten. Im Jahr 1999 lebten in China 1267 Mio Menschen und in Indien 998 Mio Menschen. Der jährliche Bevölkerungszuwachs betrug zu der Zeit in China 1,5% und in Indien 2,5%. a) Wann lebten unter diesen Voraussetzungen in Indien genauso viele Menschen wie in China?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

Hallo,

Du kannst das auch so rechnen:

998*1,025^n=1267*1,015^n.

Die 1,025 bzw. 1,015 erhältst Du, wenn Du 2,5 % oder 1,5 % zu 1 addierst:

1+0,025 bzw. 1+0,015. Ein Prozent ist nichts anderes als ein Hundertstel.

Du wendest hier sozusagen die Zinseszinsformel an, mit der Du berechnen kannst, wie ein Kapital bei jährlicher Verzinsung anwächst, wenn die Zinsen mitverzinst werden: K=K(Anfang)*(1+p/100)^n, wobei p der Zinssatz ist. In Deinem Beispiel ist K=998 Mio und p=2,5 auf der einen Seite der Gleichung und K=1267 und p=1,5 auf der anderen Seite.

Nun bringst Du die Potenzen auf eine Seite, die Bewohnerzahlen auf die andere:

(1,025/1,015)^n=1267/998 Mio.

1,00985^n=1,26954 Mio.

Um nun n zu ermitteln, teilst Du den Logarithmus von 1,26954 durch den Logarithmus von 1,00985. Das ergibt 24,348 für n.

Nach 24 Jahren und etwas über vier Monaten haben sich die Bevölkerungszahlen beider Länder angeglichen und liegen bei jeweils 1820,69 Mio.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

Die Grundlage solcher Berechnungen ist immer das Wachstumgesetz.

y = c a^n

y = Endwert (hier nicht gesucht, soll aber gleich sein)
c = Anfangswert (bei China 1267; Mill. kann man weglassen, aber bei beiden)
a = Wachstumsfaktor 1 + p% (hier bei China: 1,015)
n = Anzahl der Jahre

Wenn du einen Rechner hast, der es kann, reicht es, die Gleichsetzung einzutippen, weil ja y = y sein soll. Er rechnet n aus. Ansonsten musst du tatsächlich logarithmieren.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20
           1267 * 1,015ⁿ = 998 * 1,025ⁿ    | ln
ln(1267) + n * ln(1,015) = ln(998) + n * ln(1,025)

Den Rest schaffst du bestimmt selber. :)

Antwort
von ReinholdA, 8

Schau doch mal, ob dir die Seite...

https://der-nachhilfe-lehrer.de/tag/rechenregeln-logarithmus/

...bei deiner Aufgabe helfen kann. Jedenfalls findest du ausführliche Informationen zu Rechenregeln beim Logarithmus.

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