Frage von lol07, 48

Kann mir bitte einer die binomischen Formeln erklären und dessen Herleitung erläutern?

Antwort
von Rubezahl2000, 21

Die binomischen Formeln sind einfach nur eine vereinfachte Rechenregel für die Multiplikation bestimmter Klammerausdrücke.
Der Sinn und der Nutzen der Binomischen Formeln ist einfach nur, dass man beim Ausmultiplizieren ein paar Rechenschritte einsparen kann.

Und die Herleitung ergibt sich ganz einfach: Wenn man die Klammerausdrücke auf normalem Weg ausmultipliziert, ist das Ergebnis am Ende genau das selbe wie das, was die Binomische Formel besagt.

Die 1. Binomische Formel sagt, was rauskommt, wenn man eine einfache Summe (a+b) mit sich selbst mal-nimmt, also (a+b)•(a+b)
oder anders geschrieben (a+b)²
Rechnet man das "normal" aus, so ergibt sich:
(a+b)² = (a+b)•(a+b) = a²+ab+ba+b² = a²+2ab+b²
Und genau DAS sagt die 1. Binomische Formel: (a+b)² = a²+2ab+b², der Nutzen dabei ist, dass man die Zwischenschritte beim Multiplizieren weglassen kann, wenn man die Formel nutzt :-)

Die 2. Binomische Formel sagt, was rauskommt, wenn man eine einfache Differenz (a-b) mit sich selbst mal-nimmt, also (a-b)•(a-b)
oder anders geschrieben (a-b)²
Rechnet man das "normal" aus, so ergibt sich:
(a-b)² = (a-b)•(a-b) = a²-ab-ba+b² = a²-2ab+b²
Und genau DAS sagt die 2. Binomische Formel: (a-b)² = a²-2ab+b², der Nutzen ist wieder, dass man die Zwischenschritte beim Multiplizieren weglassen kann, wenn man die Formel nutzt :-)

Die 3. Binomische Formel sagt, was rauskommt, wenn man eine Summe (a+b) mit der entsprechenden Differenz (a-b) mal-nimmt, also (a+b)•(a-b)
Rechnet man das "normal" aus, so ergibt sich: :
(a+b)•(a-b) = a²-ab+ba-b² = a²-b²
Und genau DAS sagt die 3. Binomische Formel: (a+b)•(a-b) = a²-b², der Nutzen ist wieder, dass man die Zwischenschritte beim Multiplizieren weglassen kann, wenn man die Formel nutzt :-)

Ein weiterer Nutzen für alle 3 Binomischen Formeln ergibt sich oft bei Termumformungen, wenn man die Formeln "rückwärts" nutzt. Also wenn z.B. in einem Term ein Ausdruck wie x²-y² enthalten ist, dann kann man (falls das weiterhilft)  x²-y² ersetzen durch (x+y)•(x-y), denn das ist ja das Selbe!

Noch Fragen?

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 7

hier gucken?

Antwort
von rofl07, 13

Ja

Es gibt drei davon.

Die erste, zweite und die dritte:
1.Die erste binomische Formel lautet: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Herleiten kann man sich diese, indem man (a+b)*(a+b) rechnet, also erst a*a+a*b+b*a+b*b und daher, dass a*a=a^2 und a*b=b*a, also a*b+b*a=2ab sowie b*b=b^2, ergibt sich dann (a+b)*(a+b)=a^2+2ab+b^2

2.Die zweite binomische Formel lautet: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Herleiten kann man sich diese, indem man (a-b)*(a-b) rechnet, also erst a*a+a*(-b)+(-b)*a+(-b)*(-b) und dadurch, dass a*a=a^2, a*(-b)=(-b)*a, also a*(-b)+(-b)*a=-2ab und (-b)*(-b)=b^2, ergibt sich (a-b)*(a-b)=a^2-2ab+b^2

3.Die dritte binomische Formel lautet: (a+b)*(a-b)=a^2-b^2

Herleiten kann man sich diese, indem man (a+b)*(a-b) rechnet, indem man zuerst a*a+a*(-b)+b*a+b^2, dadurch, dass a*a=a^2 und a*(-b)+b*a=0 und b*(-b)=b^2 gilt, ergibt sich (a+b)*(a-b)=a^2-b^2

Das war jetzt glaube ich ein bisschen umständlich. Ich erkläre das ganze noch ein Mal an Beispielen:

Die erste binomische Formel als Beispiel erklärt:
Für a=5 und b=3:
(a+b)*(a+b)=a^2+2ab+b^2
(5+3)*(5+3)=5*5+5*3+3*5+3*3
(5+3)*(5+3)=5^2+2*(5*3)+3^2
(5+3)*(5+3)=25+30+9
(5+3)*(5+3)=64
Beeisen, dass das richtig so ist, kann man das, indem man:
(5+3)*(5+3)=8*8=64 rechnet.

Die zweite binomische Formel als Beispiel erklärt:
Für: a=5 und b=3
(a-b)*(a-b)=a^2-2ab+b^2
(5-3)*(5-3)=5*5-5*3-3*5+3*3
(5-3)*(5-3)=5^2-2*(5*3)+3^2
(5-3)*(5-3)=25-30+9
(5-3)*(5-3)=4
Beeisen, dass das richtig so ist, kann man das, indem man:
(5-3)*(5-3)=2*2=4 rechnet.

Die dritte binomische Formel als Beispiel:
Für a=5 und b=3
(a+b)*(a-b)=a^2-b^2
(5+3)*(5-3)=5*5+5*(-3)+3*5+3*(-3)
(5+3)*(5-3)=25-15+15-9
(5+3)*(5-3)=25-9
(5+3)*(5-3)=16

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen
Gruß rofl07

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten