Frage von maison8, 50

Kann man Zahlenfolgen so beschreiben?

Hallo liebe Community,

mich würde interressieren, ob man Zahlenfolgen so beschreiben könnte, also so: (Beispiel:)

8, 11, 14, 17, 20, 23...

Z.: 5+3 • x; x ≥ 0

?

Aber bei der Zahlenfolge 6, 9, 11, 7, 10, 12; da kämen doch schon die Probleme, oder?

Danke im Voraus,

euer maison8

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 8
Merke: ohne Randbedingungen gibt es zu einer endlichen Folge immer unendlich viele mögliche Algorithmen.

Bist Du in einer unteren Klassenstufe, lautet eine Randbedingung: nur Grundrechenarten und nie mehr als 3 Operatoren in einer Formel
Da braucht man meist nur die Differenzen und Quotienten benachbarter Glieder betrachten.
http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html
Macht das automatisch -> liefert aber am Ende der Seite das passende Interpolationspolynom dazu.

Primitive Folgen wie die erste lassen sich leicht rekursiv
aC[0]=8;aC[i+1]=aC[i]+3
oder explizit
aB[i]=i*3+8
darstellen. (Index beginnt normalerweise immer bei 0)
Es gibt aber auch kompliziertere Formeln, die anfangs auch so beginnen, dann aber anders verlaufen:
(x*((x-3)*x+20)*(x*((x-12)*x+29)+102)+5760)/720
Der Iterationsrechner vergleicht alle 3 online:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#(x*((x-3)*x+20)*(x*((x-12)*x+29)+102)+5760)/720@N@C0]=8;@N@Bi]=i*3+8;@Ci+1]=@Ci]+3;aD[i]=Fx(i);@Ni%3E8@N0@N0@N#

(LINK endet mit N# )
Bild 1

zur Folge 2:
hier kommen icht Probleme, sondern Mehrdeutigkeiten.
a) Das Interpolationspolynom lautet
6-x*(x*(x*(39*x*x-480*x+2005)-3180)+1256)/120
hattet Ihr garantiert noch nicht
deshalb ein anderer Algorithmus:
b) Differenzen:
3,2,-4,3,2
aC[i+1]=aC[i]+(aX[i%3]);
wobei aX die Folge 3,2,-4 ist. Die Wiederholung bekommt man mit dem Divisionsrest 3 (i Modulo 3 = i%3 ergibt die Indexfolge
0,1,2,0,1,2,... )
c) wechselnde Grundrechenarten
aD[i+1]=(i%3==2)?floor(aD[i]*7/11):aD[i]+(aX[i%3]);
in Worten: jedes 3. Mal (also wenn der Divisionsrest des 3. Teils vom Index 2 ist)
rechne Vorgänger mal 7/11 und runde zu einer ganzen Zahl ab
ansonsten addiere den Vorgänger mal mit 3 und mal mit 2
online wieder alle 3 zum Vergleich
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#6-x*(x*(x*(39*x*x-480*x+2005)-3180)+1256)/120@Ni=0;aX=Array(3,2,-4);@C0]=aD[0]=6;@N@Bi]=Fx(i);@Ci+1]=@Ci]+(aX[i%253]);aD[i+1]=(i%253==2)?floor(aD[i]*7/11):aD[i]+(aX[i%253]);@Ni%3E9@N0@N0@N#

(LINK endet mit N# )

Bild 2
d) ich könnte jede Stunde weitere Folgen bauen, die genau so beginnen aber anders enden...

Natürlich könnte Folge 2 auch ein Schreibfehler sein, denn die Differenz -4 ist schon ungewöhnlich ...

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 27

Die gleiche Vorschrift lässt sich nicht auf die zweite Folge anwenden. Das ist doch genau die Aufgabe zumeist, nämlich eine plausible Zuordnungsvorschrift i → aᵢ zu finden.

Man könnte zum Beispiel sagen, dass mit 6 gestartet wird, dann + 3, dann + 2, dann -4 gerechnet wird. Dann wäre die nächste Zahl die 8.

Bei deiner ersten Vorschrift müsste x > 0 sein, da du für x = 0 mit 5 starten würdest. Außerdem solltest du erwähnen, dass x Element der Natürlichen Zahlen ist.

Kommentar von maison8 ,

War denn die erste Vorschrift fertig?

Kommentar von Suboptimierer ,

Man schreibt es etwas anders. 

(an) = 5 + 3*n

oder rekursiv:

a_(0) = 8
a_(n+1) = a_(n) + 3

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