Ja kann man. Unter folgenden Bedingungen: max. 30 Stunden Wochenarbeitszeit, du hast die Zustimmung deines Arbeitgebers (die kann nur innerhalb von 4 Wochen abgelehnt werden, falls dem betrieblichen Interessen gegenüber stehen).

da musst du deinen arbeitgeber fragen, wo du angestellt angestellt bist ob der das mitmacht

Ja aber nur sehr begrenzt. Da kannst gleich in der alten Firma nebenher jobben.

wenn dein "eigentlicher" chef nix dagegen hat - warum nicht.

Warum gibt es wohl die Elternzeit????????????

Das ist nicht gerade der Sinn der Elternzeit.