Frage von Sims3Suchti16, 97

Kann man sagen, dass es für jedes mathematische Problem eine Lösung gibt, wir haben sie nur vielleicht noch nicht gefunden?

Antwort
von ralphdieter, 35

Es kommt darauf an, was Du unter Problem und Lösung verstehst:

"Nenne eine ganze Zahl n mit n²=2" hat keine Lösung, ebenso wie das LGS von Rubezahl2000. Solche Probleme gibt es zuhauf.

Mathematiker verstehen unter Problemlösung deshalb: "Gib die Menge aller Lösungen an". Dann sind obige Probleme längst gelöst: 𝕃=∅.

Nun gibt es aber noch ein paar Probleme, zu denen man bisher vergeblich eine Lösung gesucht hat. Beispiel:

    "Gibt es unendlich viele Primzahl-Zwillinge (p, p+2 beide prim)?"

Die schönste Lösung wäre eine Formel, mit der man alle solchen Zwillinge berechnen kann. Aber auch ein abstrakter Beweis, dass hinter jeder Zahl n noch irgendwo mindestens ein solcher Zwilling existiert, wäre akzeptabel. Ebenso, wenn jemand indirekt zeigen könnte, dass es nur endlich viele gibt. Er müsste nicht einmal sagen, wieviele es sind.

Bestimmt arbeiten viele Leute an diesem Problem. Wird es also irgendwann auch gelöst werden? Leider ist das nicht sicher. Es gibt Probleme, zu denen bewiesen wurde, dass sie nicht entscheidbar sind, d.h. dass es gibt grundsätzlich keinen Algorithmus, der das Problem in endlicher Zeit löst.

Angenommen, jemand beweist nun, dass das Problem "Finde den nächsten Primzahl-Zwilling hinter n" nicht entscheidbar ist. Dann wäre eine Lösung obiger Aufgabe wahrscheinlich unmöglich.

Das Beste, was man dann noch erwarten könnte, wäre: "Es gibt ein größtes Zwillingspaar, aber man kann es nicht einmal abschätzen" oder "Es gibt unendlich viele, aber man kann keine obere Schranke für deren Abstände angeben". Bei beiden läuft mir ein Schauer über den Rücken; aber am gruseligsten wäre ein Beweis für "Das Problem kann nicht gelöst werden". Würdest Du das noch als Lösung anerkennen?

Nicht zu verwechseln ist das mit folgenden nicht beweisbaren Aussagen:

  • Axiome folgen nicht aus anderen Axiomen. Du kannst sie für wahr oder falsch halten. Beides geht und führt zu einer andern Mathematik (z.B. Parallelenaxiom, Auswahlaxiom).
  • Paradoxa sind Aussagen, die mit dem System nicht verträglich sind. Egal, ob Du sie für wahr oder falsch nimmst, führt das zu Widersprüchen (z.B. "Dieser Satz ist falsch").

Auch wenn ich mich hier auf dünnem Eis bewege und Beweisbarkeit mit Entscheidbarkeit wild vermische, wird hoffentlich klar, dass das mit dem "wir haben die Lösung nur noch nicht gefunden" doch nicht so einfach ist. Gibt es denn eine Lösung, wenn man sie prinzipiell nicht angeben kann? Darüber lässt sich vortrefflich philosophieren.

Kommentar von grtgrt ,

Dein Beispiel " Dieser Satz ist falsch " ist recht gut: Er stellt eine logische Gleichung dar, die keine Lösung hat (Details sind erklärt im letzten Teil der Seite http://greiterweb.de/spw/Denkfehler.htm ).

Ein noch einfacheres Beispiel wäre die Gleichung  1/x = 0  .

Auch sie hat keine Lösung.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 52

Schöne Frage!

Ich würde sagen: Ja!

Es gibt diverse ungelöste Probleme und Vermutungen in der Mathematik wie beispielsweise die Goldbachsche Vermutung.

Die Goldbachsche Vermutung wurde 1742 von Christian Goldbach aufgestellt. Niemand konnte sie bis heute beweisen oder widerlegen. Deshalb ist es auch nur eine Vermutung.

Kurz: Die Goldbachsche Vermutung besagt, dass jede natürliche Zahl, die größer als 2 ist, die Summe zweier Primzahlen ist.

Also formal: ∀x∈ℕ ∃m,n∈ℙ: m + n = x

ℙ stellt dabei die Menge der Primzahlen dar.

Die Angabe eines Gegenbeispiels, also einer Zahl, für die das nicht gilt, würde reichen, um die Goldbachsche Vermutung zu widerlegen. Ich glaube, darauf ist von einigen amerikanischen Instituten für Mathematik sogar ein ziemlich hohes Preisgeld ausgesetzt.

Die Vermutung kann definitiv bewiesen/widerlegt werden, nur hat es bis heute noch kein Mathematiker der Welt geschafft.

Es gab zwar manchmal Mathematiker, die sagten, sie hätten die Vermutung bewiesen, ihr Beweis enthielt aber einen Fehler und war somit ungültig.

Ich stimme also folgendem zu:

"Jede mathematische Aussage kann bewiesen oder widerlegt werden." (das ist außerdem Voraussetzung für eine Aussage)

Du sprichst allerdings von mathematischen Problemen. Was meinst du damit konkret? Meinst du mathematische Aussagen? ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

Kommentar von Physikus137 ,

"Jede mathematische Aussage kann bewiesen oder widerlegt werden"

Aber genau das ist nicht der Fall, wie Kurt Gödel zeigen konnte!

Kommentar von Willibergi ,

Deshalb habe ich ja das Wort Aussage und nicht Behauptung verwendet.

Eine Aussage ist per Definition ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr oder falsch ist.

Ist eine Behauptung nun nicht beweis- oder widerlegbar ist das auch keine Aussage, da nicht eindeutig entscheidbar ist, ob sie wahr oder falsch ist.

LG Willibergi

PS: Bei der formalen Definition der Goldbachschen Vermutung muss es natürlich ∀x∈ℕ > 3 ... heißen. ^^

Kommentar von Melvissimo ,

Eine Aussage ist ein Satz mit eindeutig bestimmtem Wahrheitswert. Dass der Wahrheitswert vorhanden ist, bedeutet aber doch nicht, dass man diesen Wahrheitswert auch beweisen kann.

Genau das besagen ja gerade Gödels Unvollständigkeitssätze: Falls unser System hinreichend komplex und konsistent ist, gibt es Aussagen, die zwar mit diesem System formuliert werden können, einen eindeutig bestimmten Wahrheitswert über dem System haben, aber die nicht mithilfe des Systems bewiesen werden können.

Z.B. dass dieses System konsistent ist, lässt sich mithilfe des Systems nicht beweisen, selbst wenn es tatsächlich konsistent ist [Zweiter Unvollständigkeitssatz].

Bitte widersprecht mir, wenn ich Unfug erzähle - ich hab noch viel in "echter" Logik zu lernen ;)

Kommentar von ralphdieter ,

Eine Aussage ist ein Satz mit eindeutig bestimmtem Wahrheitswert.

In der Aussagenlogik ja: Eine wahre Aussage ist ein Axiom oder daraus abgeleitet. Eine falsche Aussage steht im Widerspruch dazu.

Gödel konstruiert syntaktisch korrekte Aussagen, die in diesem Sinne weder wahr noch falsch sind.

Dass der Wahrheitswert vorhanden ist, bedeutet aber doch nicht, dass man diesen Wahrheitswert auch beweisen kann.

Welchen Wahrheitswert soll eine nicht beweisbare Aussage haben? Das kann man sich aussuchen, und entweder geht beides oder keins von beiden. Würde nur eine Möglichkeit passen und die andere zu Widersprüchen führen, hätte man ja einen Beweis.

Kommentar von Melvissimo ,

Hieße das, dass ich unter meinen obigen Voraussetzungen das Axiom "Das eben genannte System ist nicht konsistent" hinzufügen könnte, ohne dass es der Konsistenz des Systems schadet?

Kommentar von kreisfoermig ,

Meistens ja. Beachte aber dass Con(S) nur innerhalb eines Standardmodells, M, die Information „S ist konsistent“ kodiert, d. h. genauer

(†)…       M ⊨ Con(S)  gdw.  S konsistent.

Bzgl. anderer Modelle ist (†) nicht mehr der Fall.
Daher, wenn S |-/- Con(S), so ist S+¬Con(S) konsistent und hat laut des Vollständigkeitssatzes ein Modell M´. Bzgl. M´ gilt

     M´ ⊨ ¬Con(S)  und aber  S konsistent.

Warum soll dies nicht überraschend sein? Die Formel Con(S) lässt sich NICHT direkt in der formalen Sprache der Prädikatenlogik ausdrücken, sondern ist eine Formel, die „S ist konsistent“ so kodiert, aber sich nur „richtig“ interpretieren (d. h. entkodieren) lässt bzgl. eines gewissen Standardmodells.

Kommentar von ralphdieter ,

Eine Aussage ist per Definition ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr oder falsch ist

Und, kann man das bei der Goldbachschen Vermutung? Bislang haben wir weder ein Gegenbeispiel noch eine logischen Ableitung aus den Peano-Axiomen. Und wir wissen, dass es Aussagen gibt, die nicht beweisbar sind.

Du machst den gleichen Fehler wie David Hilbert: Anschaulich ist die Goldbach-Vermutung entweder wahr oder falsch. Deshalb muss sie beweisbar sein.

Es könnte aber auch sein, dass die Goldbach-Vermutung zum sechsten Peano-Axiom wird...

Kommentar von kreisfoermig ,

Deine Definition ist falsch. Ein Satz hat einen eindeutigen Wahrheitswert in einem fixierten Kontext. Wenn ich z. B. die Formel (den Satz!)

∃X∈Pot(ℝ): |ℕ|<|X|<|ℝ|

betrachte, so hat dieser Satz ausgehend von einer Standardgrundlage der Mathematik (z. B. ZF oder ZFC oder sogar ZFC + Large Cardinal Axiome) keinen Wahrheitswert.

Antwort
von Physikus137, 43

Es wird in der Mathematik immer Aussagen geben, die nicht bewiesen oder widerlegt werden können.

Das hat Kurt Gödel in den 1930ern gezeigt.

➽ Gödelscher Unvollständigkeitssatz. 

Kommentar von ProfFrink ,

Es wird in der Mathematik immer Aussagen geben, die nicht bewiesen oder widerlegt werden können.

.. und darf man ergänzen, dass es sich dabei um Sätze handeln kann, die trotzdem wahr sind? Also ich meine mathematische Methoden, die trotzdem in der Praxis angewandt werden können und funktionieren?

Kommentar von Physikus137 ,

Ja, klar!

Es besteht z.B. die Möglichkeit, dass sich die Goldbach-Vermutung gar nicht beweisen läßt, um das Beispiel von Willibergi zu nennen.

Das Dumme ist, keiner kann das wissen, bis entweder doch jemand mit einem Beweis daher kommt oder ein Gegenbeispiel gefunden hat...

Antwort
von kreisfoermig, 37

Klipp und klar: Nein. Das wurde nach der Einführung der Mengenlehre in dem Bereich mathematischer Logik klargestellt. Seit Kurt Gödel (1930–1) wurde festgestellt, dass egal wie wir unsere Prinzipien auf beschreibbare (rekursiv präsentierte) Weise auslegen, es immer Sätze gibt, die ausgehend von einem fixierten mathematisch theoretischen Fundament sich weder beweisen noch zurückweisen lassen. Genauer genommen, existiert für jedes solche „rekursiv präsentierte“ Fundament viele (sogar unendlich viele—sogar Kontinuum viele!) Universen, die das Fundament zwar erfüllen aber paarweise verschieden sind.

Dank Cohen (1963), Paris, Harrington, et al. wurde sogar gezeigt, dass es sich dabei nicht bloß um pathologische Probleme handelt (welcher sich Gödel bediente, um sein Unvollständigkeitstheorem zu beweisen), sondern um echte mathematische Probleme aus der AnaIysis, Zahlentheorie, usw.

Kommentar von kreisfoermig ,

Die Haltung—jede mathematische Frage habe eine eindeutige Antwort,

»[…]Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus![…]Wir müssen wissen, wir werden wissen![…]«

—wurde bemerkenswert von David Hilbert (Paris, 1900) verfochten. Dieser Ansicht verpassten Gödel und Turing den Todesstoß, und Cohen, et al. sozusagen nahm sie gnadenlos auseinander.

Heute gehört es zum Grundwissen, dass schwierige Fragen evtl. weder beweisen noch zurückgewiesen werden können und somit unabhängig sein können; nicht nur nach Beweisen sondern nach Unabhängikeitsbeweisen wird gesehnt.

Kommentar von Sims3Suchti16 ,

Magst du mir das vielleicht nochmal erklären bzw. Beispiele nennen? Hab das nicht ganz verstanden. Wie kann man wissen, dass man nie die Antwort zu einer Frage finden wird bzw. eine Aussage weder beweisen noch widerlegen kann? 

Kommentar von kreisfoermig ,

Fixieren wir ein Fundament für Mathematik, eine Theorie, die allem, was wir in der Mathematik machen, zugrunde liegt. Normalerweise ist die Theorie ZF oder ZFC. Aber das ist nicht zwingend notwendig, nur erwähne ich, wie diese Standardtheorie so heißt. Nennen wir diese Theorie aber T.

Aus T heraus müssten wir nach der Haltung von Hilbert, alle mathematischen Problem endgültig lösen können.

Doch es gibt u. a. zwei Methoden, dies zu stürzen. Bei einem Problem P, soll es ja eine Wahr oder Falsch Antwort geben. Wir schreiben P bzw. ¬P für diese zwei Ausgänge. Um zu beweisen, dass P aus T weder beweisbar noch zurückzuweisen ist, kann man

  • zeigen, dass es eine Konsistenz erhaltende Erweiterung T₁ von T, in der gilt T₁ ⊢ P („T beweist P“); oder ein Modell U₁ von T finden, in dem gilt U ⊨ P („in U ist P wahr“).
  • zeigen, dass es eine Konsistenz erhaltende Erweiterung T₁ von T₂ in der gilt T₁ ⊢ ¬P („T beweist ¬P“); oder ein Modell U₂ von T finden, in dem gilt U₂ ⊨ ¬P („in U ist P falsch“).

Wie wir diese Theorieerweiterung finden, Modelle konstruieren ist manchmal ziemlich verzwickt. Aber die Intuition dürfte klar sein: finde ein Universum, in dem unsere Foundation-Theorie, T, gilt und wo P wahr ist; und finde ein anderes für T, wo P falsch ist. Dann ist klar, dass wir aus nur T (solange T konsistent ist), niemals entscheiden können, wie P zu lösen ist.

Unten ein paar Beispiele:

[Pathologisch/nicht relevant für „normale“ Mathematik?]

Bsp. 1. Gibt es eine Teilmenge X⊆ℝ mit |ℕ|<|X|<|ℝ| (strikt)? Dieses Problem ist als Kontinuumsproblem bekannt. Die Aussage wird als Axiom umformt:

CH :: es gibt kein X⊆ℝ mit |ℕ|<|X|<|ℝ|.

CH steht für „Kontinuumshypothese“ (en. Continuum Hypothesis).

[Nicht Pathologisch!]

Bsp. 2. kann man ein σ-additives W-keitsmaß auf [0, 1] finden, für die jeder Teilmenge ein Maß zuordnet (ohne die Eigenschaften eines σ-additiven W-keitsmaßes zu verletzen)? Es stellt sich heraus (Solovay, Shelah), dass diese Frage unabhängig von ZF ist, und mit dem Auswahlaxiom (AC) zusammenhängt.

Bsp. 3. Aus der AnaIysis: sei H ein separabler Hilbertraum (o. E. gilt H=ℓ²(ω)). Betrachte die Calkin Algebra C(H) = B(H) / K(H); wobei B(H) der Banachraum der beschränkten Operatoren T:H→H ist und K(H) = {T∈B(H) : T „kompakt“} das Ideal ist. Dann ist es bekannt dass C(H) eine C*-Algebra bildet. Nun konstruiert man Aut(C(H)), die Menge aller C*-Automorphismen φ : C(H)→C(H). Wie sehen diese aus? Na ja, wir können schon welche ganz einfach konstruieren durch Inn(C(H)) := {Ad_u : u∈U(H)}, wobei Ad_u : [T] ⟼ [u*Tu] und U(H) = {u∈B(H) : u unitär}. Die Automorphismen der Form Ad_u heißen „innere“ Automorphismen. Ein äußerer Automorphismus hingegen liegt in Aut(C(H)) \ Inn(C(H)). Problem. Existieren äußere Automorphismen? Laut Farah und Weaver ist diese Frage nicht anhand des üblichen Fundaments der Mathematik, ZFC, lösbar. Der eine erweiterte die Theorie durch ein (unabhängiges) Axiom CH (ZFC+CH) und bewies darin, es gibt einen (in der Tat 2^Kontinuum viele!) äußeren Automorphismus. Der andere bewies in der Erweiterung ZFC + ¬CH, dass es kompatibel mit dieser Theorie ist, weiterhin anzunehmen, dass es keinen gibt.

Kommentar von kreisfoermig ,

Tippfehler: Die Punkte oben müssten lesen:

  • zeigen, dass es eine Konsistenz erhaltende Erweiterung T₁ ⊇ T, in der gilt T₁ ⊢ P („T₁ beweist P“); oder ein Modell U₁ von T finden, in dem gilt U₁ ⊨ P („in U ist P wahr“).
  • zeigen, dass es eine Konsistenz erhaltende Erweiterung T₂ ⊇ T, in der gilt T₂ ⊢ ¬P („T₂ beweist ¬P“); oder ein Modell U₂ von T finden, in dem gilt U₂ ⊨ ¬P („in U ist P falsch“).
Antwort
von fjf100, 14

MERKE : Die Mathematik liefert allgemeine Lösungen,die dann irgendwo angewendet werden.

bei komplizierten Problemen ist die Mathematik aber schnell am Ende.

Die Behandlung des Problems erfolgt dann "Numerisch",Progamme,Computer.

Beispiel : Der Start einer Rakete vom Erdboden aus.

Man programmiert einen Computer,der dann "Schritt für Schritt" Geschwindigkeit ,Höhe und zurückgelegten Weg berechnet.

Nehmen wir mal die Schrittweite t=0,1 Sekunde.

In diesen Intervall wird die Beschleunigung als konstant genommen.Für

t= 0,1 s werden dann die Werte berechnet.Dies geht dann so weiter,bis zum Brennschluß der Rakete.

Je kürzer das Zeitintervall t ,um so genauer wird die Rechnung.

Man könnte auch t=0,0001 s wählen.Der Computer braucht dann eben etwas länger.

Beispiel : Berechne die Summe zwischen n=3 und n= 125

Formel (- 2)^n * ( Wurzel (n) + n + 1/n)

Dies kann man mit den Computer ganz einfach berechnen,indem man eine Schleife programmiert

Programm Start

0=E

For 3=n to 125 Step 1

(-2)^n *(Wurzel(n) + n +1/n = c

C+E =F

F=E

Next

E Ausgabe

Stop

Dies ist doch nun eine sehr einfach Programmierung.

Versuch diese Aufgabe mal mathematisch zu lösen.

Kommentar von Sims3Suchti16 ,

Aber der Computer macht doch nichts anderes als die mathematischen Befehle einer Person auszuführen und er wurde auch von einer solchen programmiert. Ein Computer kann bestimmt nicht mehr als ein Mensch, vielleicht nur schneller oder in größerem Rahmen. Ohne Menschen gäbe es ja keine Computer, wir haben ihnen ja alles gelernt, das sie können. 

Kommentar von fjf100 ,

nach deiner Aussage müsstes du ja die Summe in der Beispielformel berechnen können ,ohne einen Computer !

Beispiel : Weltraumfahrt . nach deiner Vorstellung,müsste man ja die Flugbahnen mit ein paar Formeln berechnen können.In Wirklichkeit werden ja die Flugbahnen beobachtet und wenn nötig korrigiert.

MERKE : Jede theoretische Berechnung,weicht von der Wirklichkeit ab.ist die Abweichung nur 10%,dann ist die Rechnung brauchbar.

Beispiel : Kennfeldsteuerung bein Automotor.In der Steuerungs -und Regelungstechnik nennt man das einen "Prozeßrechner".

Prozeßrechner (Computer),weil der nur so schnell sein muss,wie der Prozeß abläuft. Im Gegensatz zur DVA (Datenverarbeitungsanlage). Hier soll der Computer möglichst schnell sein =höheres Risiko für Fehler.

Beim Automotor ist in einer Datei für jeden Betriebszustand die Werte für die Einspritzanlage gespeichert.

Mit einer einfachen mathematischen Formel ist das nicht möglich.

Frage : Wie willst du denn solch eine komplexe Aufgabe in eine Mathematikformel packen ? 

Antwort
von Rubezahl2000, 59

Nein!
Z.B. das lineare Gleichungssystem
(1)  a+b=1
(2)  2a+2b=3
hat KEINE Lösung und wird NIE eine Lösung haben ;-)

Kommentar von Sims3Suchti16 ,

Stimmt eigentlich, aber könnte man dann nicht rein theoretisch einfach "Lösungen erschaffen", so wie mit i? Oder ist die Aussage dann trotzdem falsch?

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Nein. Die beiden Gleichungen stehen im Widerspruch zueinander, da würde es allen mathematischen Regeln widersprechen, wenn man dafür eine "Lösung" erschaffen würde.

Wenn du annimmst, dass i nur eine "Notlösung" wäre, um mit Wurzeln aus negativen Zahlen umgehen zu können, dann täuschst du dich.
i eröffnet eine neue Dimension ;-)

Kommentar von Sims3Suchti16 ,

Ich weiß schon, aber hat es nicht als "Notlösung" begonnen?

Kommentar von KDWalther ,

Das sehe ich anders :-)

Das Problem besteht bei einem LGS doch darin herauszufinden, OB es eine Lösung hat. Und wenn man feststellt: es hat keine Lösung, ist das Problem gelöst!

Kommentar von Willibergi ,

Bei deinem Gleichungssystem entsteht der Widerspruch 0 = 1.

Das mag auf den ersten Blick unlösbar erscheinen, kann aber durchaus zutreffen.

Wenn wir uns in ℤ₁ bewegen, also der Menge aller Restklassen modulo 1, dann trifft diese Aussage zu und das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da eine wahre Aussage entsteht.

Denn: 0 ≡ 1 (mod 1)

LG Willibergi

Antwort
von grtgrt, 1

Nein, das kann man nicht.

Es gibt z.B. jede Menge von Gleichungssystemen, die keine Lösung haben.

Schon die Gleichung  1/x = 0  hat keine Lösung.

Antwort
von akesipalisa, 50

Irrationale Zahlen die das  Pi sind nach derzeitigem Kenntnisstand nicht endgültig festzulegen.

Kommentar von Willibergi ,

Doch, klar!

Das Symbol π steht für die Kreiszahl Pi, die Zahl, die das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises angibt.

Sie ist eindeutig festzulegen, und zwar mit π. Zwar ist die Dezimaldarstellung unendlich lang und kann nicht auf alle Nachkommastellen genau angegeben werden, aber das ist erstmal Nebensache.

Es gibt verschiedene Darstellungen für Pi, von unendlichen Summen über Verhältnisse bis zu Integralen.

LG Willibergi

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