Kann man mit Hilfe von Kombinatorik und Primfaktorzerlegung zeigen, dass es nur 42 verschiedene Lösungen beim 1x1 gibt?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Insgesamt gibt’s 10•10=100 Multiplikationen, also 100 Produkte.
Davon sind 10 Multiplikationen mit 2 gleichen Faktoren (1•1, 2•2, … 10•10).
Die anderen 90 Multiplikationen sind jeweils doppelt (mit vertauschten Faktoren z.B. 2•3, 3•2) aber selbem Produkt (kommutativ).
Deshalb kann es schon mal maximal 45+10=55 verschiedene Ergebnisse geben.
Unter diesen maximal 55 Produkten sind dann noch 13 doppelte, die unterschiedliche Faktorzerlegungen haben (nicht notwendigerweise Primfaktoren).
Insgesamt bleiben tatsächlich 55 - 13 = 42 verschiedene Ergebnisse :-)

(Mit den 13 doppelten, das hab ich nachgezählt; einen echten Beweis hab ich dafür jetzt nicht)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von kepfIe
19.11.2015, 14:38

Vielleicht könnte man das anders angehen und fragen, warum macn 58 Zahlen nicht trifft. Wir treffen ja alle Primzahlen zwischen 10 und 100 nicht (25), dann treffen wir alle Zahlen nicht die aus dem Produkt (Primzahl großer 10, kleiner 50) und 2 (11), (Primzahl größer 10, kleiner 33) und 3 (7), (Primzahl größer 10, kleiner 20) und 5 (4) und (Primzahl größer 10, kleiner 14) und 7 (2) bestehen. Insgesamt sind wir jetzt bei 49 nicht getroffenen Zahlen. Das sind so die, die man recht einfach findet. Jetzt braucht man nur noch die Produkte von (4, 6, 8, 9) mit Primzahlen (zwischen 10 und 100) suchen, die <100 sind. Für 4 sind das 5 Stück, für 6 2 und 8 und 9 haben jeweils einen Partner für den das funktioniert. Also haben wir hier die fehlenden 9. Wie man das jetzt schön mathematisch aufschreibt lass ich jemanden anders rausfinden.

0

Mehr oder weniger. Über die Kommutativität der Multiplikation kommen wir von den 100 möglichen Lösungen schonmal auf maximal 50 verschiedene. Und dann muss man sich eben noch die 8 zusammensuchen, deren Teiler sich auf mehr als eine Art anordnen lassen (z.B. 40 = 2 * 2 * 2 * 5 = (2 * 2) * (2 * 5) = 4 * 10, und analog kommt man auf 40 = 5 * 8)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Rubezahl2000
19.11.2015, 00:13

"Über die Kommutativität der Multiplikation kommen wir von den 100 möglichen Lösungen schonmal auf maximal 50 verschiedene."

Das ist nicht ganz richtig, es sind maximal 55 verschiedene Produkte wegen der 10 Quadratzahlen, die NICHT wegen Kommutativität doppelt sind,

1