Frage von NehmEsAn, 46

Kann man IMMER die Ableitungsfunktion bilder und vor allem was bringt die?

Wofür genau dient die Ableitungsfunktion?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 7

Die Ableitungsfunktion hat viele verschiedene Anwendungen, v. a. in der Physik.

Hier ist z. B. die Ableitung des Weges nach der Zeit die Geschwindigkeit, die Ableitung des Impulses nach der Zeit ist die Kraft und sehr, sehr viele andere Beispiele mehr.

Die Ableitungsfunktion ist NICHT immer bildbar - es gibt nicht differenzierbare Funktionen. Sogar stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind.

Ein Beispiel:

f: [0,1] --> [0,1]

/
| 2/3 f( 3 x ) ; 0 <= x < 1/3
|
|
f(x) = < 2/3 - 1/3 f( 3 (x-1/3) ) ; 1/3 <= x < 2/3
|
|
| 1/3 + 2/3 f( 3 (x-2/3) ) ; 2/3 <= x <= 1
\

Der Nachweis der Stetigkeit für rationale x ist nicht allzu schwer. Daraus folgt die Stetigkeit für alle reellen x aus dem Definitionsbereich.

(Wenn man will, kann man diese Funktion leicht stetig auf die Menge aller reellen Zahlen fortsetzen.)

Der Nachweis der Nichtdifferenzierbarkeit ist nicht mehr ganz so leicht. Er beruht darauf, dass in jedem Teilintervall ein Teil-Teil-Intervall existiert, in dem die mittlere Steigung beliebig große (positive) Werte annimmt und ein Teil-Teil-Intervall, in dem die mittlere Steigung beliebig kleine (negative) Werte annimmt.

Zum Zeichnen:

Zeichne das Quadrat mit den Eckpunkten [(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)]

Zeichne die Punkte des Graphen für die x an den Grenzen der Definitionsbereiche der stückweisen Definition von f, das sind

(0, 0), (1/3, 2/3), (2/3, 1/3), (1, 1)

Denk dir die Rechtecke mit den Eckpunkten

(0, 0), (1/3, 0), (1/3, 2/3), (0, 2/3)

(1/3, 1/3), (2/3, 1/3), (2/3, 2/3), (1/3, 2/3)

(2/3, 1/3), (1, 1/3), (1, 1), (2/3 1)

In diese Rechtecke zeichest du jeweils ein affines Bild des Bildes im Ausgangsquadrat, wobei im mittleren Rechteck (wieder ein Quadrat) das Bild an der Geraden y = 1/2 gespiegelt werde muss.

Antwort
von Rubezahl2000, 26

Die Ableitungsfunktion zeigt anschaulich die Steigung der Funktion.
Mit Hilfe der Ableitungsfunktion kann man z.B. Extrempunkte der Funktion ermitteln.

Nicht jede Funktion kann man ableiten. Z.B. die Betragsfunktion ist NICHT differenzierbar an der Stelle 0, d.h. für die Betragsfunktion existiert keine Ableitung bei x=0.

Kommentar von CrEdo85wiederDa ,

bei z.B. f(x) = |x-1| ist die Ableitung an der Stelle x=0 sehr wohl definiert 😉

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Ja und?
Hat irgendjemand nach der Funktion f(x) = |x-1| gefragt?

Falls das ein witziger Versuch sein soll, meine Antwort in Zweifel zu ziehen, dann informier dich bitte erst mal, was "die Betragsfunktion" ist, insbesondere "die Betragsfunktion an der Stelle 0"

Kommentar von PWolff ,

Das ist aber nicht mehr die Betragsfunktion.

(Und im Komplexen ist auch diese Funktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar.)

Antwort
von fjf100, 4

Beispiel : y=f(x)= 2 *x^2 abgeleitet f´(x)= 2 * 2*x=4 * x

Bestimme die Steigung m an der Stelle xo= 5

eingesetzt f´(5)= 4 * 5=20 dies ist die Steigung m=20

Wie ist der Winkel an dieser Stelle mit der x-Achse

tan(a)= Gk/Ak=m=20 ergibt den Winkel a=arc tan(20)=87,137°

Eine Tangente an der Stelle xo=5 bildet mit der x-Achse einen Winkel Alpha (a)=87,137°

Wo liegt bei f(x)= 2 *x^2 ein Extrempunkt

f´(x)=0= 4 * x ergibt x=0 hier liegt das "Minimum" der Parabel f(x)=2 *x^2

dies ist der "Scheitelpunkt" in diesen Fall

siehe dazu im Mathe-Formelbuch Kapitel "Funktionen" ,Maximum,Minimum,Wendepunkt ..

Antwort
von RicVirchow, 26

Sagen wir du hast die Funktion 7x². Graphisch hat sie einen bogenförmigen Parabelverlauf. Die Ableitung 14x ordnet für jeden x Wert der Parabel eine Steigung zu. Die Steigung wird als y-Wert angegeben. Bildest du die Ableitung von 14x, erhältst du 14. 14 ist der Wert der Steigung des Graphen 14x. Bildest du die Ableitung von 14, erhältst du 0. Null ist die Steigung des Graphen von 14 (mit konstantem y Wert, also ein Graph parallel zur x Achse.

Und die Ableitung von 0 kannst du nicht bilden, bzw. es würde praktisch kein Sinn ergeben

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Funktion: f(x) = 0
Ableitung: f'(x) = 0
Warum sollte das keinen Sinn ergeben?

Antwort
von sinakmsk, 32

Die Ableitung kannst du bei verschiedensten Funktionen mit mindestens einer Variable bilden und sie verrät zum einen die Steigung der eigentlichen Funktion und ist zum anderen für diverse Rechnungen nötig, beispielsweise um Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkt) oder einen Wendepunkt auszurechnen.

Antwort
von hairybear, 24

Theoretisch kannst du immer die Ableitung einer Funktion bilden.

Was sie bringt?

In deinem Zusammenhang würde ich sagen, um eine Funktion genauer zu untersuchen. Also wie sie verläuft und ihren besonderes merkmale.

Während der Uni brauchst du es um zum beispiel komplexere Aufgaben zu lösen wie zum Beispiel als Bauingenieur brauchst du viele Ableitungen ( bzw auch das gegenteil davon Integrationen ) um die Statik von Gebäuden auszurechnen.

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Nein man kann NICHT IMMER die Ableitung einer Funktion bilden. Nur bei differenzierbaren Funktionen geht das.

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