darf man mit einem Off - Road Quad wenn es versichert ist, und man einen Führerschein hat, genauso auf der Straße fahren als mit einem On- road? Oder was empfielt sich besser?

Wenn das Quad der STVZO entspricht sollte das kein Problem sein!
wenn du ein schild dran hast ist das doch egal. spass machen alle 2 sachen ein sportquad ist mehr zum rumspinnen weil viel leichter. ein atv ist aber auch gut

Quads und ATVs sind grundsätzlich für Off-Road-Einsatz gebaut. (macht auch mehr Spaß)
Wenn das Quad/ATV eine Straßenzulassung besitzt, darf man damit auf öffentlichen Straße fahren.