Frage von Kaffee22, 10

Kann man bei einer gebrochenrationalen Funktion mit Parameter den Zähler & Nenner per Polynomdivision dividieren?

Hallo an Alle :)

Ich habe eine Gleichung: (x^2-9) / (4x-4k) Ich müsste eigentlich davon die horizontale Asymptote berechnen & da hier "ZG>NG" gilt müsste ich eine Polynomdivision durchführen. Nur weiß ich nicht wie eine Polynomdivision mit Parametern geht. Kann wer helfen? Oder geht es noch einfacher die horizontale Asymptote herauszufinden, ohne Polynomdivision bei "ZG>NG" ?

Danke an euch :)

Antwort
von surbahar53, 6

Um die Streithähne zu schlichten, hier mein Ansatz

Um eine horizontale Asymptote zu berechnen, betrachtet man das Verhalten von f(x) für x -> +- unendlich. Multipliziert man den Nenner und den Zähler mit x^-2, erkennt man leicht, dass die Funktion für x -> +unendlich gegen +unendlich strebt, und für x -> -unendlich gegen -unendlich. Die Funktion hat also keine horizontale Asymptote.

Sie hat nur eine senkrechte Asymptote bei x=k, weil dann der Nenner Null wird, aber danach war nicht gefragt.

Kommentar von polygamma ,

Wenn der Nenner null wird, soll es eine waagerechte Asymptote geben? Darüber solltest du nochmal ganz scharf nachdenken.

Kommentar von polygamma ,

Nevermind, senkrecht statt waagerecht.

Kommentar von surbahar53 ,

Ich hatte mich verschrieben und es dann ausgebessert. Gut, dass hier nicht scharf geschossen wird ...

Kommentar von polygamma ,

Nur scharf nachgedacht ;)

Kommentar von Kaffee22 ,

Ja erscheint mir als logisch, nur noch eine kl. Frage wenns ohne Parameter wäre, wäre es doch eine Schräge. In dem Fall ist ja keine horizontale Asymptote, kann es aber eine Schräge sein? Oder herrscht hier weder eine horizontale noch eine schräge Asymptote?

Kommentar von surbahar53 ,

k = 0 -> senkrechte Asymptote bei 0

k = 1 -> senkrechte Asymptote bei 1

Die Funktion erscheint nur linear für k=3 oder k=-3. Das hat folgenden Grund

k=3 : (x^2-9) / (4x - 4 * 3) = (x-3)(x+3)/4 * (x-3) = (x+3)/4
k=-3: (x^2-9) / (4x + 4 * 3) = (x-3)(x+3)/4 * (x+3) = (x-3)/4

Diese Funktion hat dann bei x=3 bzw. x=-3 lediglich eine Nullstelle.


Antwort
von polygamma, 10

Die Funktion besitzt keine horizontale Asymptote, da, wie du schon festgestellt hast, der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms.

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