Frage von Schule34, 456

Kann jmd dieses Matherätsel lösen?

Ermittle alle durch 72 teilbaren, sechstelligennatürlichen Zahle,die folgende Bedienungen haben:

Trennt man die Zahl nach der zweiten und vierten Ziffer auf dann verhalten sich die drei so von links nach rechts gebildeten zweistelligen Zahlen in dieser Reihenfolge wie 1:2:3.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von QuestLeo, 358

Also fangen wir mal an: Die Zahlen, die wir überhaupt betrachten können liegen zwischen 102030 und 336699 im Abstand von jeweils 10203 (denn nur so ist das Verhältnis 1:2:3 gewährt.

Nun muss die Zahl durch 72 teilbar sein. Gucken wir uns also an, welche Vielfachen von 10203 auch durch 72 teilbar sind. Dazu betrachten wir die Primfaktorzerlegung:

  • 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3
  • 10203 = 3 * 3401

Obwohl ich nicht weiß, ob 3401 eine Primzahl ist, weiß ich mit Sicherheit, dass die Zahl weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist. Die 3 ist also der einzige gemeinsame Primfaktor beider Zahlen. Da 72 = 3 * 24 ist, ergibt sich als kgV(72,10203) = 244872. Diese Zahl erfüllt alle Bedingungen, also halten wir fest:

  • Die Zahl 244872 tut es

Stellt sich die Frage, ob es noch weitere Zahlen gibt. Dies ist aber schnell beantwortet: Jede weitere Zahl müsste ein Vielfaches von 244872 sein. Jedoch gibt es im Bereich zwischen 102030 und 336699 keine solche Zahl. Also ist die 244872 die einzige Lösung.

Kommentar von maxundmaunzel ,

Ich habe noch eine kleine Frage dazu: wieso ist 336699 die größte mögliche Zahl und nicht 778899?😶

Kommentar von maxundmaunzel ,

Ok Frage hat sich schon geklärt.

Kommentar von JIAdist ,

Was geht dieser Zahlenverhältnis 1:2:3

Antwort
von precursor, 280

abcdef

ab|cd|ef

cd = 2 * ab

ef = 3 * ab

Es gibt nur eine Zahl die diese Bedingungen erfüllt -->

244872

Ich habe meinen Computer suchen lassen, wie man das mit Bleistift und Papier löst weiß ich nicht, sorry.

Kommentar von Schule34 ,

immerhin aber hattest du dafür eine seite benutzt

Kommentar von precursor ,

Nein, ich habe ein kleines Computerprogramm geschrieben, was hier aber den Rahmen sprengen würde, weshalb ich das nicht listen werde.

Kommentar von Schule34 ,

Macht nichts danke :)

Kommentar von precursor ,

Ok

Antwort
von kreisfoermig, 227

Die 6-stelligen Zahlen sind genau die Zahlen n mit Darstellung n=100²x+100y+z, wobei x,y,z ∈ [0, 100)∩ℕ und x≥10. Dann gilt

n erfüllt die Bedingungen gdw.
⟺ x:y:z ≈ 1:2:3 und n ≣ 0 mod 72
⟺ x:y:z ≈ 1:2:3 und 100²x+100y+z ≣ 0 mod 72
⟺ y=2x & z=3x und 64x+28y+z ≣ 0 mod 72
⟺ y=2x & z=3x und 64x+28(2x)+(3x) ≣ 0 mod 72
⟺ y=2x & z=3x und 51x ≣ 0 mod 72
⟺ y=2x & z=3x und 72 | 51x
⟺ y=2x & z=3x und 24 | 17x, da ggT(51,72)=3
⟺ y=2x & z=3x und 24 | x, da ggT(17,24)=1
⟺ y=2x & z=3x und x=24k, k ∈ ℤ

Da nun x, y=2x, z=3x ∈ [0, 100) ∩ ℕ und x ≥ 10, so gelten notwendigerweise:

  • 24·k = x ≥ 10 > 0, also k ≥ 1;
  • 3·24·k = z < 100, also k ≤ 1;
  • also k=1.

Dies, k=1, ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend, denn für x=24·1=24; y=2·24·1=48 und z=3·24·1=72 sind alle Bedingungen auf n erfüllt: n=100²x+100y+z=244872 ist durch 72 teilbar und 24:48:72 ≈ 1:2:3.

Darum ist die Lösung des Problem:

Die Menge alle Zahlen mit den Bedingungen = {244872}.
Kommentar von JIAdist ,

Was geht dieser Zahlenverhältnis 1:2:3

Antwort
von JORA133, 80

Aber was ist mit 204060?

Kommentar von JORA133 ,

war blöd. ist nicht durch  9 teilbar....

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