Frage von Jl1995, 67

Kann jemand verständlich erklären, wie man Nullstellen berechnet?

Ich brauche dringend eure Hilfe beim Nullstellen berechnen. Ich schreibe am Freitag eine Mathearbeit und verstehe es kein bisschen. Es wäre super lieb, wenn ihr mir helfen würdet.

Liebe Grüße

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 23

Hallo,

das ist so pauschal nicht zu erklären, weil es von der Art der Gleichung abhängt. Am einfachsten ist es, wenn Du eine Funktion der Art y=ax+b hast.

Dann schreibst Du ax+b=0 und löst nach x auf:

ax=-b; x=-b/a

Hast Du eine quadratische Funktion der Form ax²+bx+c, benutzt Du die abc-Formel:

x=-b/2a±√[(b²/4a²)-c/a].

Beispiel:

3x²-4x-7=0 a=3; b=-4; c=-7

x=2/3±√(4/9+7/3)=2/3+5/3 oder 2/3-5/3, also 7/3 oder -1

Ist x im Nenner, mußt Du erst mit dem Nenner multiplizieren, dann eventuelle Klammern auflösen und x isolieren. Ist x ein Exponent, mußt Du logarithmieren.

3^x ist dasselbe wie e^(x*ln(3))

In diesem Fall gibt es aber ohnehin keine Nullstelle, weil eine Potenz, die eine andere Basis als Null hat, niemals Null wird.

Auf jden Fall solltest Du Dich damit vertraut machen, wie man Gleichungen umstellt (Bücher, Videos und Üben, üben, üben).

Viel Erfolg,

Willy

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 4

Hier mal ein paar Strategien, die du anwenden kannst -->

1.) Wertetabelle der Funktion aufstellen von der du die Nullstellen berechnen willst. Dadurch findest du leicht ganzzahlige Nullstellen, außerdem kannst du eventuell Vorzeichenwechsel von + nach - und von - nach + entdecken, in den Bereichen, wo das der Fall ist, muss dann eine Nullstelle liegen. Dadurch kannst du auch Näherungswerte für Nullstellen finden. Außerdem kannst du die Wertetabelle, im Bereich des Vorzeichenwechsels, immer weiter verfeinern, und dadurch den Bereich, in dem die Nullstelle liegt, immer weiter einengen.

2.) Bei quadratischen Funktionen (Polynomen zweiten Grades) die pq-Formel anwenden oder die Mitternachtsformel.


Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )


Deshalb muss man bei quadratischen Funktionen diese erstmal auf die genannte Form bringen. Steht also ein Faktor vor x ^ 2, dann muss man die gesamte Gleichung erst durch diesen Faktor teilen, um die pq-Form zu erhalten.

Die Mitternachtsformel sieht so aus -->

x _ 1, 2 = ( - b -/+ √(b ^ 2 – 4 * a * c) ) / (2 * a)

Und kann direkt auf jede quadratische Funktion angewendet werden.

3.) Wenn bei kubischen Funktionen (Polynomen dritten Grades) das Absolutglied fehlt, das ist der Polynomanteil ohne x, dann kann man x ausklammern. Da ein Produkt immer dann Null wird, wenn einer der Faktoren Null ist, bedeutet die Ausklammerung von x, dass eine Nullstelle bei x = 0 ist. Die anderen Nullstellen findet man dann, indem man nur noch den anderen Faktor, aus dem das x ausgeklammert wurde, nach Nullstellen untersucht. Kann man x ^ 2 oder x ^ 3 usw. ausklammern, allgemein x ^ n dann liegt eine mehrfache Nullstelle bei x = 0 vor, dann sind die ersten n Nullstellen bei x = 0. Der Rest läuft genauso ab, wie für den Fall wenn man nur ein x ausklammern kann.

4.) Bei Funktionen der Form f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 2 + d kann man z = x ^ 2 setzen und erhält f(z) = a * z ^ 2 + b * z + d

Dann kann man für z die Nullstellen wie bei 2.) beschrieben berechnen. Wenn man diese Nullstellen für z berechnet hat, dann führt man eine Rücksubstitution durch, dass bedeutet x _ 1, 2 = √(z _ 1) und x _ 3, 4 = √(z _ 2)

5.) Bei anderen Polynomen oder bei Funktionen die keine Polynome sind, und wo man Schwierigkeiten hat diese ganz normal zu lösen, kann man das Newton-Verfahren anwenden.

Dazu muss man zuerst die 1-te Ableitung der Funktion bilden.

Das Newton-Verfahren läuft dann so ab -->

a.) Wähle einen Startwert für x, den kannst du anhand einer Wertetabelle oder einer Zeichnung der Funktion erhalten.

b.) Berechne -->

z= x - f(x) / f´(x)

c.) Vergleiche z und x miteinander, wenn sie sich zu stark von einander unterscheiden, dann mache weiter, wenn nicht dann springe zu f.)

d.) Setzt x = z

e.) Springe zu b.)

f.) Setze x = z

g.) x ist das Endergebnis,beende den Algorithmus jetzt.

Das Newton-Verfahren funktioniert oft, aber nicht immer.

6.) Noch eine Möglichkeit ist, die zu untersuchende Funktion auf die Form x = g(x) zu bringen. Dann braucht man einen Startwert x für die Nullstelle und dann setzt man diesen Startwert in g(x) ein und erhält einen neuen, besseren Startwert für x und macht das ganze dann erneut, solange bis sich x innerhalb der gewünschten Rechengenauigkeit nicht mehr ändert.

Dieses Verfahren nennt sich Fixpunktiteration und funktioniert auch nicht immer.

7.) Wenn bei Polynomen Nullstellen gefunden wurden, dann kann man den Polynomgrad reduzieren indem man durch den zu den gefundenen Nullstellen zugehörigen Linearfaktor dividiert, also eine Polynomfunktion durchführt.

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Hier noch mal ein paar Webseiten für dich -->

https://www.youtube.com/results?search\_query=polynomdivision

https://www.youtube.com/results?search\_query=newton+verfahren

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

https://www.youtube.com/results?search\_query=wertetabelle+erstellen

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Anmerkungen -->

Du merkst selbst, dass es schwer ist das ganze einfach und leicht zu erklären. Besser ist es, wenn du ganz konkret nach einzelnen Fällen auf GF fragst, wo du Nullstellen berechnen willst. Dann können wir dir das Ganze an deinem jeweiligen Beispiel ganz konkret in der Praxis zeigen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 10

Das hört sich so an, als seiet ihr gerade bei der Einführung von quadratischen Kurven. Unter einer Nullstelle versteht man einen Schnittpunkt mit der x-Achse. Für die gesamte x-Achse gilt:
y = 0
Man muss also das, was für y als Funktion dasteht (auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens) auf Null bringen.

z.B.
y = 3x² - 4x + 1          Daraus resultiert:
      3x² - 4x + 1 = 0

Dafür lernt ihr bestimmte Verfahren in der Schule.
Du müsstest uns verraten, welcher der folgenden Ausdrücke dir bekannt vorkommt, dann kann man dir beim jetzigen Stand deines Wissens Auskunft geben. Alles, was möglich ist, hinzuschreiben, wäre ein bisschen viel:

Lösung mit Binomischen Regeln?
Quadratische Ergänzung?
p,q-Formel?
Mitternachtsformel (abc-Formel)?
Satz von Viëta?

Antwort
von zeytiin, 39

Welcher Fall ist es ? Also welche Formel bearbeitet ihr grade ?

Antwort
von Wumpratte, 25

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