Frage von MilenaKM, 31

Kann jemand mit der Aufgabe helfen?

Hier ist gleich noch einmal eine schwere Aufgabe für Mathe-Kenner. Im gleichseitigen Dreieck ABC liegt der Punkt D auf der Seite BC so, dass gilt: 3*CD=BC. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Seite AB und CM ist die Höhe auf AB. Die Gerade schneidet CM im Punkt P. Beweise: Der Kreis durch C mit Mittelpunkt P berührt AB. Bisher habe ich nur das Offensichtliche, nämlich dass dafür CP = PM sein muss. Wie man aber darauf kommt ist mir nicht klar. Theoretisch soll man diese Aufgabe ganz ohne sinus und Co. lösen können, aber wie ? Schon einmal danke für alle Antworten.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 11



Hallo,

betrachte die Skizze, die ich Dir hochgeladen habe.

Ich habe von Punkt D aus eine Parallele zu AB gezogen und den Schnittpunkt mit AC E genannt.

CD=CE=(1/3)*BC

Aus dem Strahlensatz ergibt sich, daß sich AB zu DE so verhält wie CB zu CD.

Außerdem ist CQ (1/3)*CM

CB ist 3*CD, also ist auch AB=3*DE bzw. DE=(1/3)*AB=(1/3)*BC (es handelt sich um ein gleichseitiges Dreieck).

Nun sind die Dreiecke ABP und DEP ähnlich, denn sie stimmen in allen drei Winkeln überein. Winkel EPD und Winkel APB sind Scheitelwinkel und daher gleich. Die Seiten DE und AB sind parallel, somit sind Winkel BAP und PDE Stufenwinkel (gleich groß). Da die beiden Dreiecke in zwei Winkel übereinstimmen, tun sie das auch in allen drei Winkeln. Die beiden anderen Winkel sind ohnehin auch Stufenwinkel und somit gleich.

Da sich die Grundseiten AB und DE der beiden kongruenten Dreiecke wie 3:1 verhalten, tun dies auch die beiden Höhen von P aus auf die jeweilige Grundseite.

Somit ist die Höhe PQ des kleinen Dreiecks 1/3 der Höhe des großen Dreiecks, also 1/3 der Strecke MP.

Die Strecke MQ muß also gleich 4*PQ sein

Da MP=3*PQ und PQ dementsprechend (1/3)*MP, 
ist MQ=MP+(1/3)MP=(4/3)MP

Somit setzt sich die Strecke MC aus (4/3)MP+(1/3)MC zusammen, was bedeutet, daß (4/3)MP dasselbe sein müssen wie (2/3)MC

Dann aber ist MP=(2/3)MC geteilt durch 4/3

2/3 geteilt durch 4/3 ist aber gleich 2/3 mal 3/4 und das ergibt 1/2.

Somit ist MP=(1/2)MC

P ist also der Mittelpunkt der Strecke MC. Damit berührt der Kreis um P mit dem Radius PC auch die Strecke AB in Punkt M.

Herzliche Grüße,

Willy



Kommentar von MilenaKM ,

Vielen vielen Dank für die Anwort! Ohne die Hilfe wäre ich wohl geliefert gewesen, ich muss nämlich alles morgen um 14 Uhr fertig haben und ich war gerade über 4 Stunden daran gesessen, ohne auf eine Lösung zu kommen. (Vielleicht sollte ich es mir auch einfach angewöhnen, nicht an solch unheiligen Stunden zu arbeiten :) ).

Antwort
von EstherNele, 13

Die Gerade schneidet CM im Punkt P. 

Welche Gerade meinst du bzw. welchen zweiten Punkt hat sie?

 Im gleichseitigen Dreieck ABC 

In der Skizze ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit drei verschieden langen Seiten.

In deiner Skizze gibt es einen blau markierten Punkt auf der Strecke AM. Hat dieser Punkt einen Namen?

Gibt es eine Bezeichnung für den dritten unbenannten Eckpunkt des Dreiecks

Kommentar von MilenaKM ,

Geogebra hat gemacht, was es wollte. Eigentlich ist der obere Punkt im großen Dreieck C, links ist A und rechts ist B. Der Punkt auf BC ist dann D. Sorry! Und M ist das, was auf der Skizze C ist.

Kommentar von EstherNele ,

Okay - dann versuche ich mich mal dran. Ich hab bloß Skizze und Aufgabenstellung nicht zusammengebracht.

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