Frage von Tooowely, 54

Kann jemand diese Gleichung nachvollziehen?

Hallo,

ich hab zwar die korrekte Lösung, kann sie aber nicht nachvollziehen. Nach langen grübeln frag ich nun euch, ob ihr wisst wie man auf die zweite Gleichung kommt. Also wie werden die zwei letzten Klammern zusammengefasst (und warum darf man das, gibts da ne Regel?) und wieso fällt dann das “ +“ weg?

Das ist die Gleichung, die ich lösen möchte: 1/3n(n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)

Im nächsten Schritt sieht sie so aus: 

 = (n+1)(n+2)(1/3n+1)

Und dann zum schluss sieht sie so aus: = 1/3(n+1)(n+2)(n+3)

Bin für jeden Tipp dankbar :)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik & Schule, 31

Hallo,

von Gleichung 1 auf Gleichung 2 kommst Du, indem Du den gemeinsamen Faktor der beiden Summanden (n+1)*(n+2) entsprechend dem Distributivgesetz ausklammerst.

Das Schema ist: ac+bc=c*(a+b)

Ersetze (n+1)*(n+2) einfach mal durch a, dann siehst Du es besser:

(1/3)n*a+a=a*[(1/3)n+1]

Wenn Du a jetzt wieder durch (n+1)*(n+2) ersetzt, steht da:

(n+1)*(n+2)*[(1/3)n+1]

In der dritten Gleichung wurde der Term (1/3)n+1 so umgewandelt, daß n+3 als Faktor auftaucht:

(1/3)*(n+3)

So kommst Du über den Zwischenschritt (n+1)*(n+2)*(1/3)*(n+3) durch Umsortierung nach dem Kommutativgesetz zu
(1/3)*(n+1)*(n+2)*(n+3)

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Tooowely ,

Dankeschön! Jetzt macht es Sinn :D

Kommentar von Willy1729 ,

Keine Ursache. Der Trick mit dem Ersetzen von Termen macht lange Gleichungen übersichtlicher, so daß Gesetzmäßigkeiten besser erkannt werden können.

Willy

Kommentar von Tooowely ,

Das ist echt ein guter Tipp, werds in den nächsten Aufgaben so machen :). 

Nun hab ich doch noch eine Frage zu deiner Erklärung und zwar: wo du für (n+1)(n+2) a eingesetzt hast, kommt ja in deiner Gleichung dann: (n+1)*(n+2)*[(1/3)n+1], 

Woher nimmst du da des (n+1) bei [(1/3)n+1]? Habs irgendwie wohl doch nicht ganz kapiert ..

Kommentar von Willy1729 ,

(1/3)n+1 steht doch schon in Deiner Ausgangsgleichung.

Außerdem gibt es da den Term (n+1).

Du solltest eher fragen, woher (n+3) kommt:

Ich habe aus der einzeln stehenden 1 einfach (1/3)*3 gemacht, so daß man nun aus der Summe (1/3)n+1=(1/3)*n+(1/3)*3 den gemeinsamen Faktor (1/3) ausklammern kann:

(1/3)*(n+3)

Die beiden anderen Faktoren (n+1) und (n+2) standen schon von Anfang an in der Gleichung.

Willy

Kommentar von Tooowely ,

Oke, ich glaub jetzt hab ichs :) danke nochmal! 

Kommentar von Willy1729 ,

(1/3)n+1 steht nicht in der ersten, sondern in der zweiten Gleichung und war durch das Ausklammern von (n+1)*(n+2) entstanden; ich hatte mich bei meinem Kommentar vertan.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathematik, Schule, 10

Du erkennst zwei Klammern gleich wieder.
Mit der dritten beschäftigen wir uns jetzt:

(1/3 n  + 1) = 1/3 (n + 3)

Warum ist das so? Wenn du nach dem Distributivgesetz einen Faktor herausziehst, dividierst du praktisch jeden Summanden. Dividieren durch 1/3 heißt Multiplizieren mit 3 (Kehrwert). Und 1 * 3 = 3.

Du siehst es auch, wenn du wieder einklammerst. Damit der alte Inhalt wieder da ist, musst du 1/3 * 3 rechnen. Und wenn du die vier Faktoren jetzt ordnest, steht da, was vorgegeben wurde:

1/3 (n + 1) (n + 2) (n + 3)         Wegen der Kommuntativität ist die Reihenfolge egal.

Antwort
von wictor, 40

Im zweiten Schritt wird (n+1)(n+2) ausgeklammert. Im dritten dann 1/3 vor die Klammer gezogen. Mehr geschieht da nicht.

Kommentar von Tooowely ,

Achso :D 


Kommentar von wictor ,

Verstanden?

Kommentar von Tooowely ,

Ja, danke :)

Antwort
von Titanium93, 3

ja das ist so gestrickt:

Du hast die ( n +1 ) ( n + 2) ausgeklammert.

1/3n (n+1)(n+2) + 1 (n+1)(n+2) = (1/3 n + 1)  ( n+1 ) ( n+ 2)

soweit , so gut:

da ziehst du nur die 1/3 aus dieser Klammer

1/3 ( n + 3)      (n+1)         ( n+2 )

Später geht es mit dem Kommutativ Gesetz mit Edukten.

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