Frage von WillibergiUsermod Junior, 187

Kann jemand diese Gleichung nach x auflösen?

Moin,
die Gleichung ist als Bild angehängt und soll nach x aufgelöst werden.

WolframAlpha und ich gehen an unsere Grenzen.

Danke!

LG Willibergi

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von YStoll, 55

Was darf x denn alles sein?

natürlich, ganz, reell oder sogar komplex?

Kommentar von Willibergi ,

Hinsichtlich dessen, dass der Ausdruck

(935 - x)!

ganzzahlig und nicht-negativ sein muss, gilt:

x ≤ 935 ∧ x ∈ ℤ

LG Willibergi

Kommentar von YStoll ,

Naja, mit der Gammafunktion lassen sich auch komplexe Werte der Fakultät ausdrücken, sonst wäre ja so etwas schönes wie (-0.5)!=sqrt(pi) nicht möglich.
Jedoch nur, wenn das Argument der Fakultät nicht negativ und ganz zugleich ist.

Aber unter diesem Aspekt würde ich vorschlagen ein Programm zu schreiben dass alle ganzen x von 935 abwärts testet. Dann (z.B. ab x<-10000) kann man sich ja die Lösungsmenge angucken und versuchen zu beweisen, dass alle weiteren ebenfalls eine oder keine Lösung sind, evtl. mit vollständiger Induktion. Ohne etwas zu schreiben denke ich das es verhältnismäßig leicht zu zeigen sein sollte, dass x nicht negativ (und gleichzeitig ganz) sein kann.

Somit sollten alle ganzzahligen Lösungen ermittelbar sein.
Wenn ich für morgen nicht noch Zeug für die Uni zu erledigen hätte würde ich mich dransetzen, so muss das leider jemand anders übernehmen oder bis zum WE warten.

Kommentar von YStoll ,

x ∈ ℤ ist eine Lösung, genau dann wenn 35 ≤ x ≤ 935.

Intressiert dich nur das Eregbnis oder auch wie ich darauf gekommen bin?

Kommentar von Willibergi ,

Vielen Dank! ;)

Das Ergebnis interessiert mich zwar vorzugsweise, aber um weitere derartige Fragen zu vermeiden und zur Weiterbildung, interessiert mich natürlich auch die Herangehensweise. ;)

LG Willibergi

Kommentar von YStoll ,

Naja, ob ich "derartige" Fragen vorbeugen kann weiß ich nicht.

Entscheidend war deine Info, dass x ganz sein soll. Ansonsten hätte ich keine exakte Lösung angeben können.

Betrachten wir negative x:
Dann 935-x>0 ==> 935! /(935-x)! >= 936
Außerdem 1/935^x = 935^|x| >= 935
==> (935!/(935-x)!/935^x) >= 935 * 936 > 1 ==> linke Seite negativ ==> Ungleichung nicht erfüllt

Als nächstes zeigt man, dass die linke Seite, die ich jetzt einfach mit f(x) abkürzen werde, kleiner wird, wenn x größer wird

Also: (sei x€|N)
Beh: f(x)<f(x+1)        ausschreiben, 1 subtrahieren, mit (-1) multiplizieren (Umkehrung des Ungleichheitszeichens beachten), durch 935! teilen, mit 935^x multiplizieren und durch (935-x-1)! dividieren. Dann steht da (935-x)!/(935-x-1)! > 1/935 <=>
935-x > 1/935
=> Behauptung stimmt für alle x<935
=> Wenn die Ungleichung für x stimmt, so stimmt sie schon für x+1, es seie denn, x ist 935.

Jetzt noch mit WA und Rumprobiererei auf das niedrigste, ganze x kommen, für das die Ungleichung stimmt (x=35) und man ist fertig.

Die Zahlen von 0 bis 34 braucht man nicht beachten, da, wenn eine von diesen die Ungleichung erfüllen würde, es so auch ihr Nachfolger usw => 34 erfüllt die Ungl !Widerspruch! zu Erkenntnis durch WA.

Antwort
von Rowal, 30

Äquivaltent hierzu ist: für welche natürlichen Zahlen x zwischen 1 und 935 gilt

(1 - 1/935) (1 - 2/935) ....(1 - (x-1) /935) <= 0,53

Gesucht ist das kleinste x, denn dann gilt die Ungleichung auch für alle größeren bis 935. Dies muss jetzt numerisch ermittelt werden, z.B mit Powershell in einer Zeile:

[int]$n=1; [double]$a=1; While($a -ge 0.53) {$a *=(1-$n/935); $n+=1} Write-Host $n

Kopierst du das in die Powershell-Eingabeaufforderung ergibt sich 35.


Antwort
von HellasPlanitia, 75

Ich glaube nicht, dass sich das analytisch auflösen lässt. Du könntest aber mit dem "Satz von der impliziten Funktion" überprüfen, ob überhaupt eine eindeutige Auflösung existiert.

Antwort
von Spezialwidde, 84

Das ist ja  nichtmal eine Gleichung ;-)

Kommentar von Willibergi ,

Entschuldigung, eine Ungleichung. ;)

Frage an dich: Kannst du diese Ungleichung lösen?

LG Willibergi

Kommentar von Spezialwidde ,

Ich hab jetzt kein Papier zur Hand. Du musst einfach sehen dass du den Bruch auseinanderklabausterst und dann zusammenfassen. Ist aber schon sportlich.

Kommentar von Willibergi ,

Zu sportlich für mich. ;)

Ich wage es nicht auszusprechen, aber ich schaffe es nicht. ;(

LG Willibergi

Kommentar von Spezialwidde ,

Ich gebe zu, im Kopf so aus dem Stehgreif ist mir das auch zu hoch

Antwort
von Jerichmed, 56

Kann jemand ein Beispiel nennen, wo man so etwas braucht?
Ne, Gleichungen sind für mich das Gleiche wie für einen Legastheniker ein Buch...

Kommentar von Volens ,

So etwas fällt manchmal in der Stochastik an.
Dies ist allerdings ziemlich extrem!

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